Se a=2^n+1 é primo ( n >= 1 ), prove que n=2^r(r >= 0).
Resoluçāo: Vamos supor que um dos fatores primos de n fosse ímpar. Se 2 s+1(s neq 0) é esse fator, entảo n=t(2 s+1), onde t >= 1, e
a=(2^prime)^2 s+1+1
Fazendo 2^i=x, então a=x^2 s+1+1. Mas, conforme exercício 163:
x^2 s+1+1=(x+1)(x^2 s-x^2 s-1+ldots-x+1)=a
Absurdo, pois x+1 >= 2 e x^25-x^2-1+ldots-x+1 >= 2 (por quê?) e a é primọ. Se n não possui fatores primos ímpares, então n é potência de 2 (expoente >= 0 ).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o conteúdo.
O problema diz que a=2^n+1 é primo, com n>=1, e pede para provar que necessariamente
n=2^r(r>=0)
Aqui o conteúdo usado é fatoração de somas de potências quando o expoente é ímpar, mostrando que se n tiver fator ímpar então a fica composto.

Passo 2

Suponha, por contradição, que n não seja potência de 2. Então n tem um divisor ímpar maior que 1. Escreva esse divisor ímpar como 2s+1 com s>=1. Logo existe t>=1 tal que
n = t,(2s+1)

Passo 3

Defina
x = 2^t
Então
a = 2^n+1 = 2^t(2s+1) + 1 = x^2s+1 + 1

Passo 4

Usamos a fatoração conhecida para exibir x^2s+1+1 quando o expoente é ímpar:
x^2s+1 + 1 = (x+1)l(x^2s - x^2s-1 + x^2s-2 - cdots - x + 1r)
Denote o segundo fator por
P(x) = x^2s - x^2s-1 + x^2s-2 - cdots - x + 1

Passo 5

Mostramos que ambos os fatores são maiores que 1, contradizendo a primalidade de a:
  1. Como x=2^t>=2, temos x+1>=3>=2
  2. No polinômio P(x), o primeiro termo é x^2s e o segundo é -x^2s-1. Logo P(x)>= x^2s - x^2s-1 = x^2s-1(x-1)>= 2^2s-1cdot1>=2
Assim (x+1)>=2 e P(x)>=2, o que implica x^2s+1+1 é composto. Contradição.

Passo 6

Portanto a hipótese de que n tem um divisor ímpar falha. Logo n só pode ter fatores 2, isto é,
n=2^r (r>=0)

Resposta

n=2^r com r>=0.

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