Se
é primo (
), prove que
.
Resoluçāo: Vamos supor que um dos fatores primos de n fosse ímpar. Se
é esse fator, entảo
, onde
, e
Fazendo
, então
. Mas, conforme exercício 163:
Absurdo, pois
e
(por quê?) e a é primọ. Se n não possui fatores primos ímpares, então n é potência de 2 (expoente
).
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e identificar o conteúdo.
O problema diz que é primo, com
, e pede para provar que necessariamente
O problema diz que
Aqui o conteúdo usado é fatoração de somas de potências quando o expoente é ímpar, mostrando que se
tiver fator ímpar então
fica composto.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
não seja potência de 2. Então
tem um divisor ímpar maior que 1. Escreva esse divisor ímpar como
com
. Logo existe
tal que
Passo 3
Defina
Então
Passo 4
Usamos a fatoração conhecida para exibir
quando o expoente é ímpar:
Denote o segundo fator por
Passo 5
Mostramos que ambos os fatores são maiores que 1, contradizendo a primalidade de
:
- Como
, temos - No polinômio
, o primeiro termo é e o segundo é . Logo
Assim
e
, o que implica
é composto. Contradição.
Passo 6
Portanto a hipótese de que
tem um divisor ímpar falha. Logo
só pode ter fatores 2, isto é,