Encontre a solução para a_{n}=5 a_{n-2}-4 a_{n-4}, \operatorname{com} a_{0}=3, a_{1}=2, a_{2}=6 \mathrm{e} a_{3}=8.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n) que satisfaz a recorrência linear de ordem quatro
a_{n} \;=\;5\,a_{n-2}\;-\;4\,a_{n-4},
com as condições iniciais a_{0}=3, a_{1}=2, a_{2}=6 e a_{3}=8.
O conteúdo aqui é resolução de recorrência homogênea com coeficientes constantes, usando polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associando a_n\to r^n:
r^4 \;-\;5\,r^2\;+\;4\;=\;0.
Esse polinômio é quadrático em r^2 e fatora:
r^4-5r^2+4=(r^2-1)(r^2-4)=0,
logo as raízes são
r=\pm1,\quad r=\pm2.

Passo 3

Como as quatro raízes são distintas, a solução geral é
a_n \;=\;A\,(2)^n \;+\;B\,(-2)^n \;+\;C\,(1)^n \;+\;D\,(-1)^n.
Note que (1)^n=1, então podemos simplificar a forma como
a_n = A\,2^n + B\,(-2)^n + C + D\,(-1)^n.

Passo 4

Usamos n=0,1,2,3 para montar um sistema em A, B, C e D:
\begin{cases} A + B + C + D = 3,\\\\ 2A - 2B + C - D = 2,\\\\ 4A + 4B + C + D = 6,\\\\ 8A - 8B + C - D = 8. \end{cases}

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da terceira, obtemos
(4A+4B)-(A+B)=3\quad\Longrightarrow\quad A+B=1.
Subtraindo a segunda da quarta,
(8A-8B)-(2A-2B)=6\quad\Longrightarrow\quad A-B=1.
Resolvendo A+B=1 e A-B=1 A=1 e B=0.
Voltando em A+B+C+D=3 e 2A-2B+C-D=2, obtemos
1+0+C+D=3\quad\Longrightarrow\quad C+D=2,
2+0+C-D=2\quad\Longrightarrow\quad C-D=0,
logo C=D=1.

Passo 6

Substituindo os coeficientes em a_n = A\,2^n + B\,(-2)^n + C + D\,(-1)^n, vem
a_n = 1\cdot2^n + 0\cdot(-2)^n + 1 + 1\cdot(-1)^n \;=\;2^n + 1 + (-1)^n.

Resposta

a_n = 2^n \;+\;1\;+\;(-1)^n.

Exercícios de Livros Relacionados