Encontre a solução para a_{n}=5 a_{n-2}-4 a_{n-4}, \operatorname{com} a_{0}=3, a_{1}=2, a_{2}=6 \mathrm{e} a_{3}=8.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência (a_n) que satisfaz a recorrência linear de ordem quatro
a_{n} \;=\;5\,a_{n-2}\;-\;4\,a_{n-4},
com as condições iniciais a_{0}=3, a_{1}=2, a_{2}=6 e a_{3}=8.
O conteúdo aqui é resolução de recorrência homogênea com coeficientes constantes, usando polinômio característico.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associando a_n\to r^n:
r^4 \;-\;5\,r^2\;+\;4\;=\;0.
Esse polinômio é quadrático em r^2 e fatora:
r^4-5r^2+4=(r^2-1)(r^2-4)=0,
logo as raízes são
r=\pm1,\quad r=\pm2.
Passo 3
Como as quatro raízes são distintas, a solução geral é