5.10 Encontre todas as soluções, reais e complexas, para x^3-64=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^3 - 64 = 0
ou seja, encontrar todas as raízes (reais e complexas) de x^3=64. Vamos usar números complexos na forma polar e aplicar a fórmula de De Moivre para extrair raízes cúbicas de um número complexo.

Passo 2

Escrevemos
x^3 = 64
Em forma polar, 64 pode ser visto como um número complexo de módulo 64 e argumento 0, mas, por causa da periodicidade do argumento, temos
64 = 64l(cos(2pi k)+isin(2pi k)r),
com k inteiro. A fórmula geral da raiz cúbica de um número re^itheta é
raiz[3]r;l(cos!l(tfractheta+2pi k3r)+isin!l(tfractheta+2pi k3r)r)

Passo 3

Aqui r=64 e theta=0, logo raiz[3]64=4. As três raízes são
xk=4l(cos!l(tfrac2pi k3r)+isin!l(tfrac2pi k3r)r),
com k=0,1,2.

Passo 4

Agora avaliamos caso a caso:
Para k=0:
x0=4l(cos0 + isin0r)=4
Para k=1:
x1=4l(costfrac2pi3+isintfrac2pi3r) =4l(-tfrac12 + itfracraiz32r) =-2+2iraiz3
Para k=2:
x2=4l(costfrac4pi3+isintfrac4pi3r) =4l(-tfrac12 - itfracraiz32r) =-2-2iraiz3

Resposta

As três soluções são
x=4, x=-2+2iraiz3, x=-2-2iraiz3

Exercícios de Livros Relacionados