5.10 Encontre todas as soluções, reais e complexas, para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar todas as raízes (reais e complexas) de
. Vamos usar números complexos na forma polar e aplicar a fórmula de De Moivre para extrair raízes cúbicas de um número complexo.
Passo 2
Escrevemos
Em forma polar,
pode ser visto como um número complexo de módulo
e argumento
, mas, por causa da periodicidade do argumento, temos
com
inteiro. A fórmula geral da raiz cúbica de um número
é
Passo 3
Aqui
e
, logo
. As três raízes são
com
.
Passo 4
Agora avaliamos caso a caso:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As três soluções são