Encontre os valores possíveis de bem mathbfZ de maneira que:
mdc(576b, b)=8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros b tais que gcdl(tfrac576b,,br)=8. Vamos usar fatoração em primos e propriedades de máximo divisor comum (mdc).

Passo 2

Como tfrac576b deve ser inteiro, b precisa ser divisor de 576. Na decomposição em primos temos
576 = 2^6 cdot 3^2
Logo, qualquer divisor positivo b pode ser escrito como
b = 2^a cdot 3^c,
onde 0 <= a <= 6 e 0 <= c <= 2.

Passo 3

Calculamos então
576b = 2^6 cdot 3^22^a cdot 3^c = 2^6-acdot 3^2-c
Pelo teorema do mdc,
gcdl(2^a 3^c,;2^6-a3^2-cr) =2^min(a,6-a);3^min(c,2-c)
Queremos que isso valha exatamente 8 = 2^3, ou seja,
2^min(a,6-a),3^min(c,2-c) = 2^3cdot 3^0

Passo 4

Da igualdade de potências de 2 vem
min(a,6-a) = 3,
e da de 3 vem
min(c,2-c) = 0

Passo 5

Resolvendo em a: min(a,6-a)=3 implica a=3.
Resolvendo em c: min(c,2-c)=0 implica c=0 ou c=2.

Resposta

Os valores possíveis de b são
b = 2^3cdot 3^0 = 8 ou b = 2^3cdot 3^2 = 72

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