Mostre que há uma infinidade de primos da forma
.
Sugestāo: Suponha que os primos dessa forma fossem
. Considere
. Os fatores primos de a têm que ser da forma
. Mas isso levará a um absurdo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existem infinitamente muitos números primos congruentes a
módulo
, ou seja, da forma
. Vamos usar um argumento por contradição: suponha que exista apenas uma lista finita desses primos, digamos
e após isso construir um número que nos obrigue a encontrar um novo primo da forma
, contradizendo a hipótese de finitude.
Passo 2
Defina
e considere o número
Como cada
, temos
e portanto
Logo
é par, mas não é múltiplo de
. Assim,
divide
exatamente uma vez, e o outro fator de
é ímpar e maior que
.
Passo 3
Como
, ele tem pelo menos um divisor primo. Seja
um divisor primo ímpar de
. Então
Isso significa que
é quadrado perfeito no corpo
. Um fato conhecido de teoria de números afirma:
Passo 4
Portanto
é também um primo da forma
. Resta ver que
não pode estar na lista
. Se fosse, digamos
, então
dividiria simultaneamente
(pois
é produto de todos os
) e
, implicando que
divide
o que é impossível. Logo
é um primo novo, não listado entre os
.
Resposta
Concluímos que de qualquer lista finita de primos da forma
podemos extrair um novo primo também da forma
. Assim, há infinitamente muitos primos congruentes a
módulo
.