Mostre que há uma infinidade de primos da forma 4 r+1.
Sugestāo: Suponha que os primos dessa forma fossem n: p1, p2, ldots, pn. Considere a=p1 p2 ldots pn+1. Os fatores primos de a têm que ser da forma 4 n+3. Mas isso levará a um absurdo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existem infinitamente muitos números primos congruentes a 1 módulo 4, ou seja, da forma 4r+1. Vamos usar um argumento por contradição: suponha que exista apenas uma lista finita desses primos, digamos
p1,p2,dots,pn,
e após isso construir um número que nos obrigue a encontrar um novo primo da forma 4r+1, contradizendo a hipótese de finitude.

Passo 2

Defina
P = p1p2cdots pn,
e considere o número
N = P^2 + 1
Como cada piequiv1pmod4, temos Pequiv1pmod4 e portanto
P^2equiv1pmod4 Longrightarrow N = P^2 + 1equiv2pmod4
Logo N é par, mas não é múltiplo de 4. Assim, 2 divide N exatamente uma vez, e o outro fator de N é ímpar e maior que 1.

Passo 3

Como N>1, ele tem pelo menos um divisor primo. Seja q um divisor primo ímpar de N. Então
qmid N = P^2+1 Longrightarrow P^2equiv -1pmod q
Isso significa que -1 é quadrado perfeito no corpo Z/qZ. Um fato conhecido de teoria de números afirma:
Se q é primo ímpar e -1 é um resíduo quadrático módulo q, então
qequiv1pmod4

Passo 4

Portanto q é também um primo da forma 4r+1. Resta ver que q não pode estar na lista p1,dots,pn. Se fosse, digamos q=pi, então pi dividiria simultaneamente P (pois P é produto de todos os pj) e P^2+1, implicando que pi divide
(P^2+1) - P^2 = 1,
o que é impossível. Logo q é um primo novo, não listado entre os p1,dots,pn.

Resposta

Concluímos que de qualquer lista finita de primos da forma 4r+1 podemos extrair um novo primo também da forma 4r+1. Assim, há infinitamente muitos primos congruentes a 1 módulo 4.

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