(ENEM-15) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância
proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro très equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que
, P(II) e P (III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida ser um dos escolhidos para o exame no caso de o sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
a) P(l)
P(lIl)
P(II)
b)
c) P(l)
P
ll
P
lII
d)
e)
Solução: Alternativa E
Seja X o atleta dopado. Vamos calcular a probabilidade do atleta
ser pego no doping em cada modo de sorteio.
i) modo I: No evento, deve-se fixar o atleta
e escolher os outros 2 atletas dentre 99. No espaço amostral deve-se escolher 3 atletas dentre 200. Assim:
ii) modo II: No evento, deve-se escolher o time do atleta
e depois escolher os outros 2 atletas dentre 9 . No espaço amostral deve-se escolher 1 time, dentre 10 , e depois escolher 3 atletas dentre 10. Assim:
iii) modo III: No evento, deve-se fixar o time do atleta
, escolher os outros dois times, entre 19, para depois escolher 1 atleta nestes 2 times. No espaço amostral devese escolher 3 times, dentre 20, e depois escolher 1 atleta desses 3 times. Assim:
III
Assim, conclui-se que
proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro très equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que
a) P(l)
b)
c) P(l)
d)
e)
i) modo I: No evento, deve-se fixar o atleta
Assim, conclui-se que
Passo 1
O enunciado trata de um problema de probabilidade uniforme: há 20 equipes com 10 atletas cada (total de 200 atletas), e um atleta
dopado. Precisamos calcular a probabilidade de
ser sorteado em cada um dos três modos e, depois, comparar essas probabilidades.
Passo 2
Modo I: sorteia-se diretamente 3 atletas entre os 200. Como o sorteio é uniforme, a chance de
estar entre os 3 escolhidos é simplesmente
Passo 3
Modo II: primeiro sorteia-se uma equipe entre as 20, e depois 3 atletas dessa equipe de 10. Para que
seja escolhido, dois eventos devem ocorrer:
- Sorteiam a equipe de
: probabilidade . - Dentro dela, sorteiam 3 atletas de 10 e
está entre esses 3: probabilidade .
Logo, por independência condicional,
Passo 4
Modo III: sorteiam-se 3 equipes de 20 e, em cada uma, 1 atleta de 10. Para que
seja escolhido, sua equipe deve estar entre as 3 sorteadas e, dentro dela, deve ser o atleta selecionado. Assim:
- A equipe de
é uma das 3 sorteadas: probabilidade . - Dentro dessa equipe, escolhe-se 1 atleta entre 10, e
é ele: probabilidade .
Portanto
Passo 5
Como em todos os três modos obtemos
concluímos que as três probabilidades são iguais.
Resposta
e)
.