(ENEM-15) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância
proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro très equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que \mathrm{P}(\mathrm{l}), P(II) e P (III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida ser um dos escolhidos para o exame no caso de o sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
a) P(l) < P(lIl) < P(II)
b) \mathrm{P}(\mathrm{Il})<\mathrm{P}(\mathrm{I})<\mathrm{P}(\mathrm{Il} \mathrm{I})
c) P(l) < P ( ll )= P ( lII )
d) P(1)=P(11)<P(111)
e) P(1)=P(11)=P(111)

Solução: Alternativa E

Seja X o atleta dopado. Vamos calcular a probabilidade do atleta X ser pego no doping em cada modo de sorteio.
i) modo I: No evento, deve-se fixar o atleta X e escolher os outros 2 atletas dentre 99. No espaço amostral deve-se escolher 3 atletas dentre 200. Assim:
P(I)=\frac{\binom{199}{2}}{\binom{200}{3}}=\frac{\begin{array}{c} 199! \\\\ 2!197! \\\\ 200! \\\\ 3!197! \end{array}}{200.199!\cdot 2!}=\frac{199!\cdot 3.2!}{200}=0,15 \Rightarrow P(I)=15 \%
ii) modo II: No evento, deve-se escolher o time do atleta X e depois escolher os outros 2 atletas dentre 9 . No espaço amostral deve-se escolher 1 time, dentre 10 , e depois escolher 3 atletas dentre 10. Assim:
\mathrm{P}(\mathrm{II})=\frac{\binom{9}{2}}{20 \times\binom{ 10}{3}}=\frac{\frac{9!}{20 \frac{1!}{3!}!}}{20!}=\frac{9!\cdot 3 \cdot 2!}{20 \cdot 10 \cdot 9!\cdot 2!}=\frac{3}{200}=0,15 \Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{II})=15 \%
iii) modo III: No evento, deve-se fixar o time do atleta X, escolher os outros dois times, entre 19, para depois escolher 1 atleta nestes 2 times. No espaço amostral devese escolher 3 times, dentre 20, e depois escolher 1 atleta desses 3 times. Assim:
P(I I I)=\frac{\binom{19}{2} \times 10 \times 10}{\binom{20}{3} \times 10 \times 10 \times 10}=\frac{\frac{19!}{2!17!}}{\frac{20!}{3!15!} 10}=\frac{19!\cdot 3.2!}{20.19!\cdot 2!\cdot 10}=\frac{3}{200}=0,15 \Rightarrow
\mathrm{P}( III )=15 \%
Assim, conclui-se que \mathrm{P}(\mathrm{I})=\mathrm{P}(\mathrm{II})=\mathrm{P}(\mathrm{III})

Passo 1

O enunciado trata de um problema de probabilidade uniforme: há 20 equipes com 10 atletas cada (total de 200 atletas), e um atleta X dopado. Precisamos calcular a probabilidade de X ser sorteado em cada um dos três modos e, depois, comparar essas probabilidades.

Passo 2

Modo I: sorteia-se diretamente 3 atletas entre os 200. Como o sorteio é uniforme, a chance de X estar entre os 3 escolhidos é simplesmente
P(\mathrm{I}) = \frac{\text{número de vagas}}{\text{tamanho da população}} = \frac{3}{200}.úçã

Passo 3

Modo II: primeiro sorteia-se uma equipe entre as 20, e depois 3 atletas dessa equipe de 10. Para que X seja escolhido, dois eventos devem ocorrer:
  1. Sorteiam a equipe de X: probabilidade \tfrac{1}{20}.
  2. Dentro dela, sorteiam 3 atletas de 10 e X está entre esses 3: probabilidade \tfrac{3}{10}.
    Logo, por independência condicional,
P(\mathrm{II}) = \frac{1}{20}\times\frac{3}{10} = \frac{3}{200}.

Passo 4

Modo III: sorteiam-se 3 equipes de 20 e, em cada uma, 1 atleta de 10. Para que X seja escolhido, sua equipe deve estar entre as 3 sorteadas e, dentro dela, deve ser o atleta selecionado. Assim:
  1. A equipe de X é uma das 3 sorteadas: probabilidade \tfrac{3}{20}.
  2. Dentro dessa equipe, escolhe-se 1 atleta entre 10, e X é ele: probabilidade \tfrac{1}{10}.
    Portanto
P(\mathrm{III}) = \frac{3}{20}\times\frac{1}{10} = \frac{3}{200}.

Passo 5

Como em todos os três modos obtemos
P(\mathrm{I}) = P(\mathrm{II}) = P(\mathrm{III}) = \frac{3}{200},
concluímos que as três probabilidades são iguais.

Resposta

e) P(\mathrm{I}) = P(\mathrm{II}) = P(\mathrm{III}).

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