(Enem-MEC) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, ele empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência mostrada no esquema a seguir.
1
1 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 4 3 2 1
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9å linha da sequência de caixas empiIhadas por Ronaldo?

Passo 1

O enunciado mostra uma sequência de linhas empilhadas, em que a m-ésima linha vai de 1 até m e depois retorna até 1, formando
1,;1;2;1,;1;2;3;2;1,;1;2;3;4;3;2;1,dots
Queremos achar a soma dos números da 9ª linha. Para resolver isso, vamos (1) calcular as somas das primeiras linhas, (2) identificar o padrão e (3) generalizar para a n-ésima linha.

Passo 2

Calculando explicitamente as somas das primeiras quatro linhas:
linha 1: &1Longrightarrowsoma=1, linha 2: &1+2+1Longrightarrowsoma=4, linha 3: &1+2+3+2+1Longrightarrowsoma=9, linha 4: &1+2+3+4+3+2+1Longrightarrowsoma=16
Observamos as somas 1,4,9,16, que são exatamente 1^2,2^2,3^2,4^2.

Passo 3

Para generalizar, note que na n-ésima linha há a parte crescente 1+2+cdots+n e a parte decrescente 1+2+cdots+(n-1). Logo:
sumlinha n =sumi=1^ni ;+;sumi=1^n-1i =n(n+1)2+(n-1)n2 =n^2
Portanto, a soma da n-ésima linha é ,n^2.

Passo 4

Aplicando para n=9, a soma da 9ª linha é
9^2 = 81

Resposta

A soma da 9ª linha é 81.

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