(Enem-MEC) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, ele empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência mostrada no esquema a seguir.
1
1
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
4
3
2
1
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9å linha da sequência de caixas empiIhadas por Ronaldo?
1 | ||||||
1 | 2 | 1 | ||||
1 | 2 | 3 | 2 | 1 | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 |
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9å linha da sequência de caixas empiIhadas por Ronaldo?
Passo 1
O enunciado mostra uma sequência de linhas empilhadas, em que a
-ésima linha vai de 1 até
e depois retorna até 1, formando
Queremos achar a soma dos números da 9ª linha. Para resolver isso, vamos (1) calcular as somas das primeiras linhas, (2) identificar o padrão e (3) generalizar para a
-ésima linha.
Passo 2
Calculando explicitamente as somas das primeiras quatro linhas:
Observamos as somas
, que são exatamente
.
Passo 3
Para generalizar, note que na
-ésima linha há a parte crescente
e a parte decrescente
. Logo:
Portanto, a soma da
-ésima linha é
.
Passo 4
Aplicando para
, a soma da 9ª linha é
Resposta
A soma da 9ª linha é
.