(ITA-SP) Se A, B, C forem conjuntos tais que n(A cup B)=23, n(B-A)=12, n(C-A)=10, n(B cap C)=6 e n(A cap B cap C)=4, então n(A), n(A cup C), n(A cup B cup C), nesta ordem,
a) formam uma progressão aritmética de razão 6 .
b) formam uma progressão aritmética de razão 2 .
c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11.
d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.
e) não formam uma progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos A,B,C com
n(Acup B)=23, n(B-A)=12, n(C-A)=10, n(Bcap C)=6, n(Acap Bcap C)=4
e pede os valores de n(A), n(Acup C) e n(Acup Bcup C).
Conteúdo: contagem em diagrama de Venn e princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Definimos as regiões exclusivas do diagrama de Venn:
a4 = n(Bsetminus A), a5 = n(Bcap Csetminus A), a6 = n(Csetminus A) e x = n(Acap Bcap C).
Dos dados temos
a4 + a5 =12, a5 + a6 =10, a5 + x =6, x=4
Logo
a5 =6-4=2, a4 =12-2=10, a6 =10-2=8

Passo 3

A união Acup B reúne todas as regiões exceto C só, isto é,
n(Acup B)=a1+a2+a3+a4+a5+x=23,
onde a1+a2+a3 é a soma das partes de A que não envolvem C. Como a4+a5+x=10+2+4=16, vem
a1+a2+a3=23-16=7,
e portanto
n(A)=a1+a2+a3+x=7+4=11

Passo 4

Para n(Acup C) usamos
n(Acup C)=n(A)+n(C)-n(Acap C)
Aqui
n(C)=a3+x+a5+a6=a3+4+2+8=a3+14, n(Acap C)=a3+x=a3+4,
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n(Acup C)=11+(a3+14)-(a3+4)=21

Passo 5

Para n(Acup Bcup C) basta somar todas as regiões:
n(Acup Bcup C) = (a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+x =7 + (10+2+8) +4 =31

Passo 6

A sequência (n(A),,n(Acup C),,n(Acup Bcup C))=(11,21,31) é uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.

Resposta

(d)

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