1.5.12 Mostre que

(A times B) cdot(C times D)=(A cdot C)(B cdot D)-(A cdot D)(B cdot C)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade do produto escalar de dois produtos vetoriais, conhecida como produto escalar quádruplo:
(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Acdot C)(Bcdot D) -(Acdot D)(Bcdot C)
O que vamos usar é a notação em componentes com o símbolo de Levi-Civita epsilonijk e a identidade de contração
epsilonijk,epsilonilm =de<ajl,de<akm-de<ajm,de<akl,
onde de<apq é o delta de Kronecker.

Passo 2

Escrevemos cada componente de Atimes B e de Ctimes D em termos de epsilonijk:
(Atimes B)i =epsilonijk,Aj,Bk, (Ctimes D)i =epsilonilm,Cl,Dm
O produto escalar entre eles fica então
(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Atimes B)i;(Ctimes D)i =epsilonijk,epsilonilm,Aj,Bk,Cl,Dm

Passo 3

Aplicamos a identidade de contração de Levi-Civita:
epsilonijk,epsilonilm =de<ajl,de<akm-de<ajm,de<akl
Substituindo em
epsilonijk,epsilonilm,Aj,Bk,Cl,Dm =(de<ajl,de<akm-de<ajm,de<akl) ,Aj,Bk,Cl,Dm

Passo 4

Usamos as propriedades do delta de Kronecker para reescrever em produtos escalares:
de<ajl,Aj,Cl = Acdot C, de<akm,Bk,Dm = Bcdot D,
de<ajm,Aj,Dm = Acdot D, de<akl,Bk,Cl = Bcdot C
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(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Acdot C)(Bcdot D) -(Acdot D)(Bcdot C)

Resposta

(Atimes B)cdot(Ctimes D) =(Acdot C)(Bcdot D) -(Acdot D)(Bcdot C)

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