1.5.12 Mostre que

(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot(\mathbf{C} \times \mathbf{D})=(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{D})-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{D})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) .

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade do produto escalar de dois produtos vetoriais, conhecida como produto escalar quádruplo:
(\mathbf{A}\times \mathbf{B})\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{D}) =(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})(\mathbf{B}\cdot \mathbf{D}) -(\mathbf{A}\cdot \mathbf{D})(\mathbf{B}\cdot \mathbf{C}).
O que vamos usar é a notação em componentes com o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} e a identidade de contração
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm} =\delta_{jl}\,\delta_{km}-\delta_{jm}\,\delta_{kl},
onde \delta_{pq} é o delta de Kronecker.

Passo 2

Escrevemos cada componente de \mathbf{A}\times \mathbf{B} e de \mathbf{C}\times \mathbf{D} em termos de \epsilon_{ijk}:
(\mathbf{A}\times \mathbf{B})_i =\epsilon_{ijk}\,A_j\,B_k, \quad (\mathbf{C}\times \mathbf{D})_i =\epsilon_{ilm}\,C_l\,D_m.
O produto escalar entre eles fica então
(\mathbf{A}\times \mathbf{B})\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{D}) =(\mathbf{A}\times \mathbf{B})_i\;(\mathbf{C}\times \mathbf{D})_i =\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm}\,A_j\,B_k\,C_l\,D_m.

Passo 3

Aplicamos a identidade de contração de Levi-Civita:
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm} =\delta_{jl}\,\delta_{km}-\delta_{jm}\,\delta_{kl}.
Substituindo em
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm}\,A_j\,B_k\,C_l\,D_m =(\delta_{jl}\,\delta_{km}-\delta_{jm}\,\delta_{kl}) \,A_j\,B_k\,C_l\,D_m.

Passo 4

Usamos as propriedades do delta de Kronecker para reescrever em produtos escalares:
\delta_{jl}\,A_j\,C_l = \mathbf{A}\cdot \mathbf{C}, \quad \delta_{km}\,B_k\,D_m = \mathbf{B}\cdot \mathbf{D},
\delta_{jm}\,A_j\,D_m = \mathbf{A}\cdot \mathbf{D}, \quad \delta_{kl}\,B_k\,C_l = \mathbf{B}\cdot \mathbf{C}.
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(\mathbf{A}\times \mathbf{B})\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{D}) =(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})(\mathbf{B}\cdot \mathbf{D}) -(\mathbf{A}\cdot \mathbf{D})(\mathbf{B}\cdot \mathbf{C}).

Resposta

(\mathbf{A}\times \mathbf{B})\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{D}) =(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})(\mathbf{B}\cdot \mathbf{D}) -(\mathbf{A}\cdot \mathbf{D})(\mathbf{B}\cdot \mathbf{C}).

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