1.5.4 São dados os três vetores
e
,
(a) Calcule o produto escalar triplo,
. Observando que
, dê uma interpretação geométrica do seu resultado para o produto escalar triplo.
(b) Calcule
.
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá três vetores em componentes cartesianas:
e pede (a) o produto escalar triplo
—que geométricamente é o volume do paralelepípedo formado por
—e (b) o vetor
, para o qual usaremos a identidade de produto vetorial triplo.
Passo 2
Para calcular
, escrevemos primeiro as componentes:
e
.
Aplicando
Aplicando
obtemos
Passo 3
Agora fazemos
. Escrevendo
,
Passo 4
Como o produto escalar triplo é zero, o volume do paralelepípedo formado por
é nulo. De fato, dado que
, o vetor
está no plano gerado por
e
, ou seja, os três são coplanares.
Passo 5
Para calcular
usamos a identidade
Precisamos, então, de
e
.
Passo 6
Calculamos
Substituindo na identidade:
ou seja
Resposta
(a)
. Geometricamente, o volume do paralelepípedo é nulo porque
torna os três vetores coplanares.
(b) .
(b)