1.5.4 São dados os três vetores \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C},
\begin{aligned} & \mathbf{A}=\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}} \\\ & \mathbf{B}=\hat{\mathbf{y}}+\hat{\mathbf{z}} \\\ & \mathbf{C}=\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{z}} \end{aligned}
(a) Calcule o produto escalar triplo, \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}. Observando que \mathbf{A}=\mathbf{B}+\mathbf{C}, dê uma interpretação geométrica do seu resultado para o produto escalar triplo.
(b) Calcule \mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C}).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em componentes cartesianas:
\mathbf{A}=\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}},\quad \mathbf{B}=\hat{\mathbf{y}}+\hat{\mathbf{z}},\quad \mathbf{C}=\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{z}},
e pede (a) o produto escalar triplo \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})—que geométricamente é o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}—e (b) o vetor \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}), para o qual usaremos a identidade de produto vetorial triplo.

Passo 2

Para calcular \mathbf{B}\times\mathbf{C}, escrevemos primeiro as componentes:
\mathbf{B}=(0,1,1) e \mathbf{C}=(1,0,-1).
Aplicando
\mathbf{B}\times\mathbf{C} =\bigl(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y},\;B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z},\;B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}\bigr),
obtemos
\mathbf{B}\times\mathbf{C} =\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot0,\;1\cdot1-0\cdot(-1),\;0\cdot0-1\cdot1\bigr) =(-1,\;1,\;-1).

Passo 3

Agora fazemos \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}). Escrevendo \mathbf{A}=(1,1,0),
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =(1,1,0)\cdot(-1,1,-1) =1\cdot(-1)+1\cdot1+0\cdot(-1)=0.

Passo 4

Como o produto escalar triplo é zero, o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} é nulo. De fato, dado que \mathbf{A}=\mathbf{B}+\mathbf{C}, o vetor \mathbf{A} está no plano gerado por \mathbf{B} e \mathbf{C}, ou seja, os três são coplanares.

Passo 5

Para calcular \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) usamos a identidade
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =\mathbf{B}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) -\mathbf{C}\,(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}).
Precisamos, então, de \mathbf{A}\cdot\mathbf{C} e \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}.

Passo 6

Calculamos
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} =(1,1,0)\cdot(1,0,-1)=1\cdot1+1\cdot0+0\cdot(-1)=1,
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} =(1,1,0)\cdot(0,1,1)=1\cdot0+1\cdot1+0\cdot1=1.
Substituindo na identidade:
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =\mathbf{B}\cdot1-\mathbf{C}\cdot1 =(0,1,1)-(1,0,-1)=(-1,1,2),
ou seja
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =-\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}+2\,\hat{\mathbf{z}}.

Resposta

(a) \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0. Geometricamente, o volume do paralelepípedo é nulo porque \mathbf{A}=\mathbf{B}+\mathbf{C} torna os três vetores coplanares.
(b) \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=-\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}+2\,\hat{\mathbf{z}}.

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