1.5.4 São dados os três vetores A, B e C,
& A=x+y & B=y+z & C=x-z
(a) Calcule o produto escalar triplo, A cdot B times C. Observando que A=B+C, dê uma interpretação geométrica do seu resultado para o produto escalar triplo.
(b) Calcule A times(B times C).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em componentes cartesianas:
A=x+y, B=y+z, C=x-z,
e pede (a) o produto escalar triplo Acdot(BtimesC)—que geométricamente é o volume do paralelepípedo formado por A,B,C—e (b) o vetor Atimes(BtimesC), para o qual usaremos a identidade de produto vetorial triplo.

Passo 2

Para calcular BtimesC, escrevemos primeiro as componentes:
B=(0,1,1) e C=(1,0,-1).
Aplicando
BtimesC =l(ByCz-BzCy,;BzCx-BxCz,;BxCy-ByCxr),
obtemos
BtimesC =l(1cdot(-1)-1cdot0,;1cdot1-0cdot(-1),;0cdot0-1cdot1r) =(-1,;1,;-1)

Passo 3

Agora fazemos Acdot(BtimesC). Escrevendo A=(1,1,0),
Acdot(BtimesC) =(1,1,0)cdot(-1,1,-1) =1cdot(-1)+1cdot1+0cdot(-1)=0

Passo 4

Como o produto escalar triplo é zero, o volume do paralelepípedo formado por A,B,C é nulo. De fato, dado que A=B+C, o vetor A está no plano gerado por B e C, ou seja, os três são coplanares.

Passo 5

Para calcular Atimes(BtimesC) usamos a identidade
Atimes(BtimesC) =B,(AcdotC) -C,(AcdotB)
Precisamos, então, de AcdotC e AcdotB.

Passo 6

Calculamos
AcdotC =(1,1,0)cdot(1,0,-1)=1cdot1+1cdot0+0cdot(-1)=1,
AcdotB =(1,1,0)cdot(0,1,1)=1cdot0+1cdot1+0cdot1=1
Substituindo na identidade:
Atimes(BtimesC) =Bcdot1-Ccdot1 =(0,1,1)-(1,0,-1)=(-1,1,2),
ou seja
Atimes(BtimesC) =-x+y+2,z

Resposta

(a) Acdot(BtimesC)=0. Geometricamente, o volume do paralelepípedo é nulo porque A=B+C torna os três vetores coplanares.
(b) Atimes(BtimesC)=-x+y+2,z.

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