Enuncie as definições de e^{z}, \cos z, \operatorname{sen} z, \operatorname{cosh} z, \operatorname{senh} z e as relações entre essas funções. Essas relações têm analogias no caso real?

Passo 1

O enunciado pede para recordar as definições das funções analíticas \exp(z), \cos z, \operatorname{sen} z, \operatorname{cosh} z, \senh z no plano complexo e escrever as relações que existem entre elas. Em seguida, queremos ver se essas relações têm paralelo quando z é real.

Passo 2

Definimos a exponencial complexa \exp(z) pela série de potências, que converge para todo z\in\mathbb{C}:
\exp(z) = e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.
A partir de e^z introduzimos as funções seno e cosseno complexos via as fórmulas de Euler:
\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2},
\operatorname{sen} z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}.
De forma análoga, definimos seno hiperbólico e cosseno hiperbólico por
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2},
\senh z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}.

Passo 3

As principais relações entre essas funções são
e^{iz} = \cos z + i\,\operatorname{sen} z,
\cos^2 z + \operatorname{sen}^2 z = 1,
\operatorname{cosh}^2 z - \senh^2 z = 1,
e ainda as ligações cruzadas
\cos z = \operatorname{cosh}(i z), \quad \operatorname{sen} z = -\,i\,\senh(i z).

Passo 4

Quando restringimos z a valores reais x\in\mathbb{R}, todas as definições por séries e as identidades acima se reduzem exatamente às funções reais usuais e^x, \cos x, \operatorname{sen} x, \operatorname{cosh} x, \senh x e às mesmas fórmulas: não há perda nem mudança de sinal — obtém-se o caso real como caso particular do complexo.

Resposta

As definições são
e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!},
\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \operatorname{sen} z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i},
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}, \quad \senh z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}.
As relações principais valem:
e^{iz} = \cos z + i\,\operatorname{sen} z, \quad \cos^2 z + \operatorname{sen}^2 z = 1, \quad \operatorname{cosh}^2 z - \senh^2 z = 1,
\cos z = \operatorname{cosh}(i z), \quad \operatorname{sen} z = -i\,\senh(i z).
Restritas a z=x\in\mathbb{R}, essas mesmas definições e identidades fornecem as funções reais usuais e suas relações clássicas.

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