Enuncie as definições de
e as relações entre essas funções. Essas relações têm analogias no caso real?
Passo 1
O enunciado pede para recordar as definições das funções analíticas
,
,
,
,
no plano complexo e escrever as relações que existem entre elas. Em seguida, queremos ver se essas relações têm paralelo quando
é real.
Passo 2
Definimos a exponencial complexa
pela série de potências, que converge para todo
:
A partir de
introduzimos as funções seno e cosseno complexos via as fórmulas de Euler:
De forma análoga, definimos seno hiperbólico e cosseno hiperbólico por
Passo 3
As principais relações entre essas funções são
e ainda as ligações cruzadas
Passo 4
Quando restringimos
a valores reais
, todas as definições por séries e as identidades acima se reduzem exatamente às funções reais usuais
,
,
,
,
e às mesmas fórmulas: não há perda nem mudança de sinal — obtém-se o caso real como caso particular do complexo.
Resposta
As definições são
As relações principais valem:
Restritas a
, essas mesmas definições e identidades fornecem as funções reais usuais e suas relações clássicas.