EPCAR - Sobre o menor número natural n de quatro algarismos, divisível por 3, tal que o algarismos das dezenas é metade do algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar, é correto afirmar:
a) n+1 é divisível por 7
b) n está entre 2.000 e 3.009
c) n+2 é múltiplo de 10
d) n apresenta 12 divisores positivos

Passo 1

O enunciado pede o menor número natural de quatro algarismos n tal que:
  1. n é divisível por 3;
  2. o dígito das dezenas é metade do dígito das unidades;
  3. esse mesmo dígito das dezenas é o dobro do dígito das unidades de milhar.
    Para resolver, vamos representar n pelos seus dígitos e usar condições sobre eles e sobre a soma dos dígitos para a divisibilidade por 3.

Passo 2

Sejam os dígitos de n denotados por
n = ABCD,
onde A é o dígito das milhares, B o das centenas, C o das dezenas e D o das unidades. As condições são:
C = D2, C = 2A
Da primeira vem D = 2C, e da segunda C = 2A, logo
D = 2C = 2,(2A) = 4A

Passo 3

Como D<=9 e A>=1, temos 4A<=9implies A<=2. Assim A=1 ou A=2. Para obter o menor n de quatro algarismos escolhemos A=1, o que dá
C = 2A = 2, D = 4A = 4

Passo 4

Falta achar B de modo que n seja divisível por 3. A soma dos dígitos é
1 + B + 2 + 4 = 7 + B,
que deve ser múltiplo de 3. Como 7equiv1pmod3, precisamos de
1 + B equiv 0pmod3 Longrightarrow Bequiv2pmod3
Os valores possíveis para B em 0,1,dots,9 são 2,5,8. O menor é B=2. Logo
n = 1224

Passo 5

Agora testamos as alternativas:
a) n+1 = 1225. Como
7 times 175 = 1225,
então 1225 é divisível por 7. A opção (a) é verdadeira.
b) n = 1224 não está entre 2000 e 3009, logo (b) é falsa.
c) n+2 = 1226 não é múltiplo de 10, logo (c) é falsa.
d) Fatorando
1224 = 2^3 times 3^2 times 17,
o número de divisores positivos é
(3+1)(2+1)(1+1) = 4 times 3 times 2 = 24,
não 12. Logo (d) é falsa.

Resposta

(a)

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