O que é uma equação diferencial? O que é uma solução de uma equação diferencial? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma equação diferencial e o que significa uma solução de uma equação diferencial, dando exemplos. O conteúdo é a teoria básica de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeiríssima introdução.

Passo 2

Definimos uma equação diferencial como uma relação que envolve uma função desconhecida y (dependente de uma variável independente, digamos x) e uma ou mais de suas derivadas. Em geral, uma equação diferencial de ordem n pode ser escrita na forma
F\bigl(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,\,y^{(n)}\bigr)=0,
onde y^{(k)} denota a k-ésima derivada de y em relação a x.

Passo 3

Chamamos de solução de uma equação diferencial qualquer função y=y(x) que, ao ser substituída na equação (junto com suas derivadas), satisfaça identicamente a relação dada. Em outras palavras, se colocarmos y(x), y'(x), …, y^{(n)}(x) em
F\bigl(x,\,y(x),\,y'(x),\dots,\,y^{(n)}(x)\bigr)=0,
o resultado deve ser uma igualdade verdadeira para todo x de um intervalo apropriado.

Passo 4

Um exemplo clássico é a equação diferencial de crescimento/exponencial:
\frac{dy}{dx}=k\,y,
onde k é uma constante. Para encontrar a solução, separamos variáveis:
\frac{1}{y}\,dy = k\,dx
e integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C.
Logo,
y(x) = C_1\,e^{k x},
com C_1=e^C. Essa família de funções é a solução geral da equação.

Passo 5

Outro exemplo é a equação de oscilador harmônico simples:
\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0.
As soluções gerais são combinações lineares de funções trigonométricas:
y(x) = A\cos(x) + B\sin(x),
onde A e B são constantes de integração que se determinam por condições iniciais.

Resposta

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida e suas derivadas.
Uma solução de uma equação diferencial é qualquer função que, ao substituir na equação (com todas as suas derivadas), transforma-a em uma identidade verdadeira.
Exemplos:
\displaystyle \frac{dy}{dx}=k\,y tem solução geral y(x)=C_1e^{kx}.
\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}+y=0 tem solução geral y(x)=A\cos x+B\sin x.

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