O que é uma equação diferencial? O que é uma solução de uma equação diferencial? Exemplifique.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma equação diferencial e o que significa uma solução de uma equação diferencial, dando exemplos. O conteúdo é a teoria básica de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeiríssima introdução.
Passo 2
Definimos uma equação diferencial como uma relação que envolve uma função desconhecida
(dependente de uma variável independente, digamos
) e uma ou mais de suas derivadas. Em geral, uma equação diferencial de ordem
pode ser escrita na forma
onde
denota a
-ésima derivada de
em relação a
.
Passo 3
Chamamos de solução de uma equação diferencial qualquer função
que, ao ser substituída na equação (junto com suas derivadas), satisfaça identicamente a relação dada. Em outras palavras, se colocarmos
,
, …,
em
o resultado deve ser uma igualdade verdadeira para todo
de um intervalo apropriado.
Passo 4
Um exemplo clássico é a equação diferencial de crescimento/exponencial:
onde
é uma constante. Para encontrar a solução, separamos variáveis:
e integramos ambos os lados:
Logo,
com
. Essa família de funções é a solução geral da equação.
Passo 5
Outro exemplo é a equação de oscilador harmônico simples:
As soluções gerais são combinações lineares de funções trigonométricas:
onde
e
são constantes de integração que se determinam por condições iniciais.
Resposta
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida e suas derivadas.
Uma solução de uma equação diferencial é qualquer função que, ao substituir na equação (com todas as suas derivadas), transforma-a em uma identidade verdadeira.
Exemplos:
tem solução geral
.
tem solução geral
.
Uma solução de uma equação diferencial é qualquer função que, ao substituir na equação (com todas as suas derivadas), transforma-a em uma identidade verdadeira.
Exemplos: