Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Rotação de eixos por pi

Passo 1

O enunciado trata de uma equação em x,y que permanece a mesma (até substituir x por x' e y por y') quando aplicamos uma rotação dos eixos de pi. O conteúdo aqui é simetria de curvas sob transformações de coordenadas, e vamos precisar conhecer a fórmula da rotação de 180^circ no plano.

Passo 2

A rotação de eixos por pi leva cada ponto (x,y) em
(x',y') = (-x,,-y)
Se a equação F(x,y)=0 é invariante sob essa rotação, então
F(-x,-y)=0
é exatamente a mesma equação de F(x,y)=0, apenas com (x,y) trocados por (x',y').

Passo 3

Concluir que, para cada ponto (x,y) do gráfico, o ponto (-x,-y) também pertence ao gráfico. Geometricamente, isso significa que o gráfico tem simetria de meia-volta em torno da origem, isto é, simetria central.

Resposta

O gráfico é centralmente simétrico em relação à origem.

Exercícios de Livros Relacionados