Uma equação em
é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de
por
e
por
. Por exemplo, a equação
é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Rotação de eixos por
Rotação de eixos por
Passo 1
O enunciado trata de uma equação em
que permanece a mesma (até substituir
por
e
por
) quando aplicamos uma rotação dos eixos de
. O conteúdo aqui é simetria de curvas sob transformações de coordenadas, e vamos precisar conhecer a fórmula da rotação de
no plano.
Passo 2
A rotação de eixos por
leva cada ponto
em
Se a equação
é invariante sob essa rotação, então
é exatamente a mesma equação de
, apenas com
trocados por
.
Passo 3
Concluir que, para cada ponto
do gráfico, o ponto
também pertence ao gráfico. Geometricamente, isso significa que o gráfico tem simetria de meia-volta em torno da origem, isto é, simetria central.
Resposta
O gráfico é centralmente simétrico em relação à origem.