Uma equação em
é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de
por
e
por
. Por exemplo, a equação
é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
e
Passo 1
O enunciado diz que uma curva definida por uma equação em
é invariante sob uma certa mudança de coordenadas quando, após substituirmos
pela nova relação (por exemplo
), a equação fica idêntica, só trocando
por
e
por
. Geometricamente, isso significa que o lugar geométrico (o gráfico) se “move” segundo essa mudança de forma que voltamos ao mesmo desenho. Para entender o que isso implica, basta interpretar cada mudança como uma translação no plano.
Passo 2
Considere a mudança de coordenadas
Isso é exatamente a translação do plano na direção do eixo
de um comprimento
(para a direita). Se a equação é invariante, então sempre que um ponto
está na curva, o ponto
também está. Consequentemente o gráfico se repete a cada unidade no eixo
: a curva é periódica de período
em
, ou seja, é formada por infinitas cópias traduzidas horizontalmente de um “traço” fundamental de comprimento
.
Passo 3
Agora considere
Isso traduz o plano na direção do eixo
de um comprimento
(para cima). A invariância implica que, se
está na curva, então
também está. Logo o gráfico se repete a cada unidade no eixo
: a curva é periódica de período
em
, isto é, formada por infinitas cópias traduzidas verticalmente de um “traço” fundamental de altura
.
Resposta
– Invariância sob
periodicidade horizontal de período
.
– Invariância sob periodicidade vertical de período
.
– Invariância sob