Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
x=x^prime+1, y=y^prime e x=x^prime y=y^prime+1

Passo 1

O enunciado diz que uma curva definida por uma equação em (x,y) é invariante sob uma certa mudança de coordenadas quando, após substituirmos
x = x', y = y'
pela nova relação (por exemplo x = x'+1,;y=y'), a equação fica idêntica, só trocando x por x' e y por y'. Geometricamente, isso significa que o lugar geométrico (o gráfico) se “move” segundo essa mudança de forma que voltamos ao mesmo desenho. Para entender o que isso implica, basta interpretar cada mudança como uma translação no plano.

Passo 2

Considere a mudança de coordenadas
x = x' + 1, y = y'
Isso é exatamente a translação do plano na direção do eixo x de um comprimento 1 (para a direita). Se a equação é invariante, então sempre que um ponto (x,y) está na curva, o ponto (x+1,y) também está. Consequentemente o gráfico se repete a cada unidade no eixo x: a curva é periódica de período 1 em x, ou seja, é formada por infinitas cópias traduzidas horizontalmente de um “traço” fundamental de comprimento 1.

Passo 3

Agora considere
x = x', y = y' + 1
Isso traduz o plano na direção do eixo y de um comprimento 1 (para cima). A invariância implica que, se (x,y) está na curva, então (x,y+1) também está. Logo o gráfico se repete a cada unidade no eixo y: a curva é periódica de período 1 em y, isto é, formada por infinitas cópias traduzidas verticalmente de um “traço” fundamental de altura 1.

Resposta

– Invariância sob x = x'+1 Rightarrow periodicidade horizontal de período 1.
– Invariância sob y = y'+1 Rightarrow periodicidade vertical de período 1.

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