Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
x=x^prime+1, y=y^prime e x=x^prime y=y^prime+1

Passo 1

O enunciado diz que uma curva definida por uma equação em x = x', y = y' é invariante sob uma certa mudança de coordenadas quando, após substituirmos
pela nova relação (por exemplo ), a equação fica idêntica, só trocando por e por . Geometricamente, isso significa que o lugar geométrico (o gráfico) se “move” segundo essa mudança de forma que voltamos ao mesmo desenho. Para entender o que isso implica, basta interpretar cada mudança como uma translação no plano.

Passo 2

Considere a mudança de coordenadas
x = x' + 1, y = y'
Isso é exatamente a translação do plano na direção do eixo de um comprimento (para a direita). Se a equação é invariante, então sempre que um ponto está na curva, o ponto também está. Consequentemente o gráfico se repete a cada unidade no eixo : a curva é periódica de período em , ou seja, é formada por infinitas cópias traduzidas horizontalmente de um “traço” fundamental de comprimento .

Passo 3

Agora considere
x = x', y = y' + 1
Isso traduz o plano na direção do eixo de um comprimento (para cima). A invariância implica que, se está na curva, então também está. Logo o gráfico se repete a cada unidade no eixo : a curva é periódica de período em , isto é, formada por infinitas cópias traduzidas verticalmente de um “traço” fundamental de altura .

Resposta

– Invariância sob periodicidade horizontal de período .
– Invariância sob periodicidade vertical de período .

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