Reduza à forma comum por uma translação de eixos e trace o gráfico:
x^2+y^2-2 x+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
x^2+y^2-2x+4y=0
e pede para reduzi-la à forma comum por uma translação de eixos e, em seguida, traçar o gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, em particular círculos, e vamos usar completar quadrados e definir novas variáveis para a translação.

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em x e em y:
x^2-2x ;+; y^2+4y ;=;0

Passo 3

Completamos o quadrado em cada grupo. Para x:
x^2-2x = (x^2-2x+1)-1 = (x-1)^2-1
Para y:
y^2+4y = (y^2+4y+4)-4 = (y+2)^2-4
Substituindo na equação original:
(x-1)^2-1 + (y+2)^2-4 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 = 5

Passo 4

Definimos a translação de eixos
X = x-1, Y = y+2
No novo sistema (X,Y), a equação fica
X^2 + Y^2 = 5,
que é a forma reduzida de um círculo de raio raiz5 e centro na origem (0,0) do sistema (X,Y).

Passo 5

Voltando ao sistema original (x,y), o centro do círculo é o ponto que corresponde à origem em (X,Y), ou seja
(x,y) = (1,, -2),
e o raio é
r = raiz5

Passo 6

Para traçar o gráfico, desenhamos no plano xy um círculo de centro (1,-2) e raio raiz5. Podemos marcar pontos notáveis, por exemplo:
(1+raiz5,-2), (1-raiz5,-2), (1,-2+raiz5), (1,-2-raiz5),
e então desenhar a circunferência que passa por eles.

Resposta

A translação X = x-1,;Y = y+2 leva
x^2+y^2-2x+4y=0
à forma reduzida
X^2+Y^2=5
No sistema original, é um círculo de centro (1,-2) e raio raiz5.

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