Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
x=(x^prime+y^prime) / raiz2, y=(x^prime-y^prime) / raiz2

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar o que acontece com o gráfico de uma curva cuja equação em (x,y) não se altera quando fazemos a mudança de coordenadas
x = x'+y'raiz2, y = x'-y'raiz2
Em outras palavras, se chamarmos de f(x,y)=0 a equação original, a condição de invariância é
f!l(x,yr)=0 iff f!l(tfracx'+y'raiz2,,tfracx'-y'raiz2r)=0
ser idêntica a f(x',y')=0. Vamos ver que tipo de simetria geométrica isso impõe ao gráfico.

Passo 2

Escrevemos a mudança em forma matricial. Denotando v=(x,y)^T e v'=(x',y')^T,
v ;=; 1raiz2 1 & 1 1 & -1 v' ;=;M, v'
Como
M^T M =121&11&-1 1&11&-1 =1&00&1,
vemos que M é ortogonal, e como det M=-1 trata-se de uma reflexão no plano.

Passo 3

Uma reflexão é uma transformação involutiva, ou seja, . Seus pontos fixos (os que satisfazem ) formam o eixo de reflexão. Para encontrá-lo, resolvemos
Isso dá o sistema
que é equivalente a

Passo 4

Conclusão: invariância da equação pela mudança dada equivale a dizer que o gráfico é simétrico em relação à reta que passa pela origem de inclinação raiz2-1. Essa reta forma ângulo de 22,5^circ com o eixo x.

Resposta

O gráfico é simétrico por reflexão na reta
y = (raiz2-1),x,
isto é, na reta que faz 22,5^circ com o eixo x.

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