Uma equação em é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de por e por . Por exemplo, a equação é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar o que acontece com o gráfico de uma curva cuja equação em não se altera quando fazemos a mudança de coordenadas
Em outras palavras, se chamarmos de a equação original, a condição de invariância é
ser idêntica a . Vamos ver que tipo de simetria geométrica isso impõe ao gráfico.
Passo 2
Escrevemos a mudança em forma matricial. Denotando e ,
Como
M^T M =121&11&-1 1&11&-1 =1&00&1,
vemos que M é ortogonal, e como det M=-1 trata-se de uma reflexão no plano.
Passo 3
Uma reflexão é uma transformação involutiva, ou seja, . Seus pontos fixos (os que satisfazem ) formam o eixo de reflexão. Para encontrá-lo, resolvemos
Isso dá o sistema
que é equivalente a
Passo 4
Conclusão: invariância da equação pela mudança dada equivale a dizer que o gráfico é simétrico em relação à reta que passa pela origem de inclinação raiz2-1. Essa reta forma ângulo de 22,5^circ com o eixo x.
Resposta
O gráfico é simétrico por reflexão na reta
y = (raiz2-1),x,
isto é, na reta que faz 22,5^circ com o eixo x.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 6.6.5 - Ex. 11.g