Trace o gráfico com a ajuda de uma rotação adequada dos eixos:
x+y=(x-y)-(x-y)^3

Passo 1

O enunciado pede para traçar o lugar geométrico dado por
x+y = (x-y) - (x-y)^3
usando uma rotação de eixos adequada. O conteúdo principal é transformação de coordenadas por rotação e análise de curvas em coordenadas mais simples.

Passo 2

Escolhemos as novas coordenadas
u = x - y, v = x + y,
que correspondem a rodar o sistema de eixos em 45^circ. Nessas variáveis, substituímos
x-y = u, x+y = v
na equação dada.

Passo 3

Fazendo a substituição temos
v = u - u^3,
ou seja, no sistema (u,v) a curva é simplesmente o gráfico da função
v(u) = u - u^3

Passo 4

Para esboçar v = u - u^3, calculamos a derivada
dvdu = 1 - 3u^2,
que se anula em
u = pm1raiz3
Em u = -1/raiz3 há um extremo relativo onde
v = -1raiz3 -l(-1raiz3r)^3 = -23raiz3 = -2raiz39,
e em u = +1/raiz3
v = 23raiz3 = 2raiz39
Para lvert urverttoinfty, vsim -u^3, indo para -infty quando uto+infty e para +infty quando uto-infty. Há ponto de inflexão em u=0,v=0.

Passo 5

O esboço em (u,v) é um “S” invertido: desce de +infty (quando uto -infty), passa por um mínimo em l(-tfrac1raiz3,-tfrac2raiz39r), sobe até um máximo em l(tfrac1raiz3,tfrac2raiz39r) e depois decresce para -infty (quando uto+infty).

Passo 6

Para levar esse esboço de volta ao plano (x,y), lembramos que as direções u e v são respectivamente as retas y = x (sentido de u positivo é perpendicular a y=x) e y = -x. Ou seja, pegamos o “S” desenhado no sistema (u,v) e rotacionamos 45^circ no sentido anti-horário para obter a curva no plano (x,y). Os pontos críticos em (x,y) são
l(x,yr) = l(tfracu+v2,,tfracv-u2r)
avaliados em u=pm1/raiz3,;v=pm2/(3raiz3).

Resposta

O gráfico é a curva S-invertida definida implicitamente, resultante da rotação de 45^circ do gráfico de v=u-u^3. Ela cruza a origem, tem um mínimo relativo próximo de l(-0,48,0,10r) e um máximo relativo próximo de l(0,48,-0,10r), e se estende para infty em dois ramos.

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