Trace o gráfico com a ajuda de uma rotação adequada dos eixos:
Passo 1
O enunciado pede para traçar o lugar geométrico dado por
usando uma rotação de eixos adequada. O conteúdo principal é transformação de coordenadas por rotação e análise de curvas em coordenadas mais simples.
Passo 2
Escolhemos as novas coordenadas
que correspondem a rodar o sistema de eixos em
. Nessas variáveis, substituímos
na equação dada.
Passo 3
Fazendo a substituição temos
ou seja, no sistema
a curva é simplesmente o gráfico da função
Passo 4
Para esboçar
, calculamos a derivada
que se anula em
Em
há um extremo relativo onde
e em
Para
,
, indo para
quando
e para
quando
. Há ponto de inflexão em
.
Passo 5
O esboço em
é um “S” invertido: desce de
(quando
), passa por um mínimo em
, sobe até um máximo em
e depois decresce para
(quando
).
Passo 6
Para levar esse esboço de volta ao plano
, lembramos que as direções
e
são respectivamente as retas
(sentido de
positivo é perpendicular a
) e
. Ou seja, pegamos o “S” desenhado no sistema
e rotacionamos
no sentido anti-horário para obter a curva no plano
. Os pontos críticos em
são
avaliados em
.
Resposta
O gráfico é a curva S-invertida definida implicitamente, resultante da rotação de
do gráfico de
. Ela cruza a origem, tem um mínimo relativo próximo de
e um máximo relativo próximo de
, e se estende para
em dois ramos.