Reduza à forma comum por uma translação de eixos e trace o gráfico:
4 y^2-32 x+4 y-63=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4y^2-32x+4y-63=0
e pede uma redução por translação de eixos e o gráfico. Aqui só aparece termo em y^2 e termo linear em y, sem x^2, o que indica uma parábola de eixo paralelo ao eixo x. Vamos eliminar o termo linear em y completando quadrado e definir novas variáveis para chegar à forma canônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em y e isolamos o x:
4y^2+4y-32x-63=0 Longrightarrow 4l(y^2+yr)-32x-63=0
Agora completamos o quadrado em y:
y^2+y = l(y+tfrac12r)^2-tfrac14,
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4l[l(y+tfrac12r)^2-tfrac14r]-32x-63=0 ;Longrightarrow; 4l(y+tfrac12r)^2-1-32x-63=0
Longrightarrow; 4l(y+tfrac12r)^2-32x-64=0 ;Longrightarrow; l(y+tfrac12r)^2=8x+16,

Passo 3

Definimos a translação
X = x+2, Y = y+tfrac12,
então x = X-2 e y+tfrac12=Y. Substituindo em (y+tfrac12)^2=8x+16 obtemos
Y^2=8,(X-2)+16 ;Longrightarrow; Y^2=8X
Este é o formato canônico de uma parábola de equação
Y^2=4p,X
com 4p=8, ou seja p=2.

Passo 4

A partir de Y^2=8X sabemos que:
  • Vértice em (X,Y)=(0,0), to em coordenadas originais (x,y)=(-2,-tfrac12).
  • Foco em (p,0)=(2,0), to em originais (x,y)=(0,-tfrac12).
  • Diretriz X=-p, isto é X=-2, to em originais x=-4.
  • Eixo de simetria é a reta Y=0, ou seja y=-tfrac12.
    A parábola abre para a direita, com vértice em (-2,-tfrac12).

Resposta

A translação
X = x+2, Y = y+tfrac12
leva à forma canônica
Y^2=8X
Vértice em (-2,-tfrac12), foco em (0,-tfrac12), diretriz x=-4 e eixo de simetria y=-tfrac12. O gráfico é uma parábola abrindo para a direita a partir de (-2,-tfrac12).

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