Trace o gráfico com a ajuda de uma rotação adequada dos eixos:
Passo 1
O enunciado pede para traçar o lugar geométrico dado por
usando uma rotação de eixos que simplifique essa relação. O conteúdo aqui é troca de variáveis via rotação para explorar simetrias.
Passo 2
Observamos que os coeficientes
e
formam um par de vetores ortogonais (pois
) de mesmo comprimento
. Logo, podemos definir novos eixos
e
por uma rotação de ângulo
tal que
Passo 3
Definimos as novas coordenadas
em função de
por
Inversamente,
Passo 4
Substituindo na equação original temos
Passo 5
Isolando
, obtemos
Esta é a equação do lugar geométrico no plano
.
Passo 6
Análise da curva em
:
- Domínio:
. -
para todo . - Assimptotas:
- Existem duas “ramificações”, uma para
e outra simétrica para , ambas decaindo para quando .
Passo 7
Voltando ao plano
, as assimptotas em
viram linhas:
Passo 8
Concluímos que o gráfico é formado por duas curvas suaves em regiões onde
, com cada ramo se aproximando das retas
e
.
Resposta
O lugar geométrico é dado, após rotação de eixos, por
o que corresponde a duas ramificações em
e
. No plano
, essas curvas têm como assimptotas as retas