Trace o gráfico com a ajuda de uma rotação adequada dos eixos:
3 x-4 y=1 /(4 x+3 y)^2

Passo 1

O enunciado pede para traçar o lugar geométrico dado por
3x - 4y = 1(4x + 3y)^2
usando uma rotação de eixos que simplifique essa relação. O conteúdo aqui é troca de variáveis via rotação para explorar simetrias.

Passo 2

Observamos que os coeficientes (3,-4) e (4,3) formam um par de vetores ortogonais (pois 3cdot4 + (-4)cdot3=0) de mesmo comprimento 5. Logo, podemos definir novos eixos u e v por uma rotação de ângulo varphi tal que
cosvarphi = 35, sinvarphi = 45

Passo 3

Definimos as novas coordenadas (u,v) em função de (x,y) por
u = 3x - 4y5, v = 4x + 3y5
Inversamente,
3x - 4y = 5u, 4x + 3y = 5v

Passo 4

Substituindo na equação original temos
3x - 4y ;=;1(4x + 3y)^2 Longrightarrow 5u = 1(5v)^2 = 125,v^2

Passo 5

Isolando u, obtemos
u = 1125,v^2
Esta é a equação do lugar geométrico no plano uv.

Passo 6

Análise da curva em (u,v):
  1. Domínio: vneq0.
  2. u>0 para todo v.
  3. Assimptotas: v=0 (vertical em uv) e u=0 (horizontal em uv)
  4. Existem duas “ramificações”, uma para v>0 e outra simétrica para v<0, ambas decaindo para uto0^+ quando |v|toinfty.

Passo 7

Voltando ao plano xy, as assimptotas em (u,v) viram linhas:
u=0 ;Longrightarrow; 3x-4y=0, v=0 ;Longrightarrow; 4x+3y=0

Passo 8

Concluímos que o gráfico é formado por duas curvas suaves em regiões onde 4x+3yneq0, com cada ramo se aproximando das retas
,3x-4y=0 e ,4x+3y=0.

Resposta

O lugar geométrico é dado, após rotação de eixos, por
u = 1125,v^2,
o que corresponde a duas ramificações em v>0 e v<0. No plano xy, essas curvas têm como assimptotas as retas
3x - 4y = 0 e 4x + 3y = 0

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