Qual é a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) equidistantes das retas r: 3 x+4 y-12=0 e s: 5 x+12 y-60=0 ?

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que estão à mesma distância das retas
rcolon 3x+4y-12=0
e
scolon 5x+12y-60=0
Para isso vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x,y) a uma reta Ax+By+C=0, que é
d=l|Ax+By+Cr|raizA^2+B^2

Passo 2

Calculemos as distâncias de P(x,y) a r e a s:
dr=l|3x+4y-12r|raiz3^2+4^2 =l|3x+4y-12r|5,
ds=l|5x+12y-60r|raiz5^2+12^2 =l|5x+12y-60r|13
Como queremos dr=ds, temos
l|3x+4y-12r|5 =l|5x+12y-60r|13 Longrightarrow 13,l|3x+4y-12r|=5,l|5x+12y-60r|

Passo 3

Para eliminar o valor absoluto resolvemos as duas possibilidades:
  1. 13(3x+4y-12)=5(5x+12y-60)
  2. 13(3x+4y-12)=-5(5x+12y-60).
Caso 1:
39x+52y-156=25x+60y-300 ;Longrightarrow; 14x-8y=-144 ;Longrightarrow; 7x-4y+72=0
Caso 2:
39x+52y-156=-25x-60y+300 ;Longrightarrow; 64x+112y=456 ;Longrightarrow; 8x+14y-57=0

Passo 4

Concluímos que o lugar geométrico é a união das duas bissetrizes obtidas:
7x-4y+72=0 e 8x+14y-57=0

Resposta

O lugar geométrico dos pontos equidistantes de r e s é dado pelas retas
7x-4y+72=0 ou 8x+14y-57=0

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