10.1.2 Mostre que a EDO de Hermite, Equação (13.10), pode ser posta em forma auto-adjunta multiplicando por e^{-x^{2}} e que isso dá w(x)=e^{-x^{2}} como a função densidade adequada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de Hermite
y'' - 2x\,y' + \lambda\,y = 0
pode ser escrita em forma auto-adjunta (Sturm–Liouville) ao multiplicarmos por um fator adequado, e que esse fator leva à função densidade (peso)
w(x)=e^{-x^2}.
O conteúdo envolvido é a teoria de operadores diferenciais auto-adjuntos e o uso de fator integrante via regra do produto.

Passo 2

Começamos multiplicando a equação de Hermite por e^{-x^2}. Isso dá
e^{-x^2}\,y'' \;-\;2x\,e^{-x^2}\,y' \;+\;\lambda\,e^{-x^2}\,y \;=\;0.

Passo 3

Repare que, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2}\,y'\bigr) = e^{-x^2}\,y'' \;+\;\bigl(-2x\,e^{-x^2}\bigr)\,y'.
Portanto, os dois primeiros termos da equação acima se combinam exatamente em \frac{d}{dx}(e^{-x^2}\,y').

Passo 4

Substituindo na equação, obtemos a forma
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2}\,y'\bigr) \;+\;\lambda\,e^{-x^2}\,y \;=\;0,
que é a forma auto-adjunta padrão
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\,y'\bigr] + \lambda\,w(x)\,y = 0
com
p(x)=e^{-x^2}, \quad w(x)=e^{-x^2}, \quad q(x)=0.

Resposta

A equação de Hermite em forma auto-adjunta fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2}\,y'\bigr) + \lambda\,e^{-x^2}\,y = 0,
e a função densidade (peso) é
w(x)=e^{-x^2}.

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