10.1.2 Mostre que a EDO de Hermite, Equação (13.10), pode ser posta em forma auto-adjunta multiplicando por
e que isso dá
como a função densidade adequada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de Hermite
pode ser escrita em forma auto-adjunta (Sturm–Liouville) ao multiplicarmos por um fator adequado, e que esse fator leva à função densidade (peso)
O conteúdo envolvido é a teoria de operadores diferenciais auto-adjuntos e o uso de fator integrante via regra do produto.
Passo 2
Começamos multiplicando a equação de Hermite por
. Isso dá
Passo 3
Repare que, pela regra do produto,
Portanto, os dois primeiros termos da equação acima se combinam exatamente em
.
Passo 4
Substituindo na equação, obtemos a forma
que é a forma auto-adjunta padrão
com
Resposta
A equação de Hermite em forma auto-adjunta fica
e a função densidade (peso) é