(ESA-2001) A forma fatorada de um número natural x é 2^3 3 5^2 e a forma fatorada de um
número natural y é 2^4 3^2 5. 7. Então, podemos afirmar que o MDC de ( x, y ) é:
a) 102
b) 120
c) 840
d) 3600
e) 5880

Passo 1

O enunciado dá dois números naturais cujas fatorações em primos são
x = 2^3cdot 3^1cdot 5^2, y = 2^4cdot 3^2cdot 5^1cdot 7^1,
e pede o máximo divisor comum gcd(x,y). Para isso, usamos a propriedade de que
gcd(x,y) = prodp primo p^minl(nup(x),,nup(y)r),
onde nup(z) é o expoente de p na fatoração de z.

Passo 2

Calculamos o expoente mínimo de cada primo que aparece em x ou y:
  • Para p=2: nu2(x)=3, nu2(y)=4, então min(3,4)=3.
  • Para p=3: nu3(x)=1, nu3(y)=2, então min(1,2)=1.
  • Para p=5: nu5(x)=2, nu5(y)=1, então min(2,1)=1.
  • Para p=7: nu7(x)=0, nu7(y)=1, então min(0,1)=0.

Passo 3

A partir desses expoentes, a fatoração do gcd(x,y) é
gcd(x,y) = 2^3cdot 3^1cdot 5^1cdot 7^0 = 2^3cdot3cdot5

Passo 4

Calculando o produto, obtemos
2^3cdot3cdot5 = 8cdot3cdot5 = 120

Resposta

b) 120

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