Estudar a convergência da soma de retângulos do segundo membro de (4-6) para a integral do primeiro membro, usando como exemplo
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
pelo somatório de retângulos dado pelo segundo membro de (4-6), isto é,
com
,
,
e subdivisões iguais de largura
. Vamos estudar como essa soma converge para o valor exato da integral à medida que
cresce, usando
.
Passo 2
Primeiro determinamos a largura de cada retângulo e o ponto de amostragem. Como
e
,
Escolhemos o ponto à direita de cada subintervalo,
Assim, a soma de retângulos (Riemann direita) é
Passo 3
Usamos a fórmula fechada para a soma dos quadrados:
Logo
Passo 4
O valor exato da integral é
Passo 5
Agora calculamos
para
usando
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Observamos que
é sempre maior que
(pois
é crescente) e que, conforme
aumenta,
Em particular a diferença
decai como
, garantindo a convergência para o valor exato da integral.
Resposta
Os valores aproximados são:
,
,
,
,
e todos convergem de cima para .
e todos convergem de cima para