Estudar a convergência da soma de retângulos do segundo membro de (4-6) para a integral do primeiro membro, usando como exemplo integral0^1 x^2 d x, com n=2,5,10,20.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
integral0^1 x^2,dx
pelo somatório de retângulos dado pelo segundo membro de (4-6), isto é,
sumi=1^n f(xi),De<a x
com f(x)=x^2, a=0, b=1 e subdivisões iguais de largura De<a x=(b-a)/n. Vamos estudar como essa soma converge para o valor exato da integral à medida que n cresce, usando n=2,5,10,20.

Passo 2

Primeiro determinamos a largura de cada retângulo e o ponto de amostragem. Como a=0 e b=1,
De<a x = 1-0n = 1n
Escolhemos o ponto à direita de cada subintervalo,
xi = a + i,De<a x = in, i=1,2,dots,n
Assim, a soma de retângulos (Riemann direita) é
Rn = sumi=1^n fl(xir),De<a x = sumi=1^nl(inr)^2,1n = 1n^3sumi=1^ni^2

Passo 3

Usamos a fórmula fechada para a soma dos quadrados:
sumi=1^ni^2 = n,(n+1),(2n+1)6
Logo
Rn = 1n^3;n,(n+1),(2n+1)6 = (n+1),(2n+1)6,n^2

Passo 4

O valor exato da integral é
integral0^1x^2,dx = l[x^33r]0^1 = 13approx0,3333

Passo 5

Agora calculamos Rn para n=2,5,10,20 usando
Rn = (n+1)(2n+1)6,n^2
Para n=2:
R2 = 3cdot56cdot4 = 1524 = 0,625
Para n=5:
R5 = 6cdot116cdot25 = 66150 = 0,44
Para n=10:
R10 = 11cdot216cdot100 = 231600 = 0,385
Para n=20:
R20 = 21cdot416cdot400 = 8612400 = 0,35875

Passo 6

Observamos que Rn é sempre maior que 1/3 (pois x^2 é crescente) e que, conforme n aumenta,
Rn ;longrightarrow; 13
Em particular a diferença
Rn - 13 =(n+1)(2n+1)6n^2 - 13 =12n+16n^2
decai como O(1/n), garantindo a convergência para o valor exato da integral.

Resposta

Os valores aproximados são:
R2 = 0,625,
R5 = 0,44,
R10 = 0,385,
R20 = 0,35875,
e todos convergem de cima para integral0^1x^2dx=1/3.

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