Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y=4-x^2, y=4-4 x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas
y=4 - x^2
e
y=4 - 4x
e calcular a área da região limitada por elas. O conteúdo envolvido é encontrar os pontos de interseção, verificar qual curva fica acima da outra e usar integral definida para obter a área.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões:
4 - x^2 = 4 - 4x
implies -x^2 + 4x = 0
implies x(x - 4) = 0
Logo, x=0 e x=4. Os pontos são (0,4) e (4,-12).

Passo 3

Determinamos qual curva está acima no intervalo [0,4] comparando
(4 - x^2) - (4 - 4x) = -x^2 + 4x = x(4-x)
Como x(4-x)>=0 para 0<= x<=4, temos
4 - x^2 ;>=; 4 - 4x

Passo 4

A área A é dada por
A = integral0^4 l[(4 - x^2) - (4 - 4x)r],dx = integral0^4 l(-x^2 + 4xr),dx
Calculando,
integral0^4 l(-x^2 + 4xr),dx = l[-tfrac13x^3 + 2x^2r]0^4 = l(-tfrac13cdot64 + 2cdot16r) = -tfrac643 + 32 = tfrac323

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é tfrac323.

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