Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y^2=-4 x+4, y^2=-2 x+4.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região comum às curvas
y^2=-4x+4
e
y^2=-2x+4
Aqui o conteúdo é área de uma região plana limitada por duas curvas, que vamos achar por integração (diferença entre as abscissas direita e esquerda, integrando em y).

Passo 2

Reescrevemos cada equação isolando x em função de y. Da primeira,
y^2=-4x+4 Longrightarrow x=1-y^24,
e da segunda,
y^2=-2x+4 Longrightarrow x=2-y^22
São duas parábolas que abrem para a esquerda, com vértices em (1,0) e (2,0) respectivamente.

Passo 3

Para determinar a região comum, achamos onde as curvas se intersectam:
1-y^24 = 2-y^22 Longrightarrow 4-y^2=8-2y^2 Longrightarrow y^2=4
logo y=pm2. São os limites em y da região que queremos.

Passo 4

Em cada nível yin[-2,2], a abscissa da fronteira direita é
xdir=2-y^22,
e da fronteira esquerda é
xesq=1-y^24
Assim a largura da “fatia” é
xdir-xesq = l(2-y^22r)-l(1-y^24r) =1-y^24
A área buscada é
integraly=-2^2l(1-y^24r),dy

Passo 5

Calculamos a integral:
integral-2^21,dy =4, integral-2^2y^24,dy =14integral-2^2y^2,dy =14cdot163 =43
Logo
integral-2^2l(1-y^24r),dy =4-43 =12-43 =83

Resposta

A área da região delimitada pelas duas curvas é 83 (unidades de área).

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