Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y=9-x^2, y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço das curvas
y = 9 - x^2
e
y = x^2
e o cálculo da área da região fechada por elas. O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas usando integral definida de (curva de cima) - (curva de baixo).

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
9 - x^2 = x^2
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2x^2 = 9 Longrightarrow x^2 = tfrac92 Longrightarrow x = pm 3raiz2
O valor de y nesses pontos é
y = x^2 = 92

Passo 3

Esboço qualitativo:
y = x^2 é uma parábola com vértice em (0,0) voltada para cima.
y = 9 - x^2 é uma parábola com vértice em (0,9) voltada para baixo.
Elas se cruzam em l(pm3raiz2,tfrac92r), formando uma região simétrica em relação ao eixo y.

Passo 4

A área A da região fechada é dada por
A = integralx=-3raiz2^,3raiz2 l[(9 - x^2) - (x^2)r],dx = integral-3raiz2^,3raiz2 (9 - 2x^2),dx

Passo 5

Calculemos a integral. Uma primitiva de 9 - 2x^2 é
F(x) = 9x - 23,x^3
Avalia-mos de -tfrac3raiz2 a tfrac3raiz2:
F!l(tfrac3raiz2r) = 9cdottfrac3raiz2 - tfrac23,l(tfrac3raiz2r)^3 = 27raiz2 - 23,27raiz24 = 27raiz22 - 9raiz22 = 9raiz2,
F!l(-tfrac3raiz2r) = 9cdotl(-tfrac3raiz2r) - 23,l(-tfrac3raiz2r)^3 = -27raiz2 + 9raiz22 = -9raiz2
Portanto
A = F!l(tfrac3raiz2r) - F!l(-tfrac3raiz2r) = 9raiz2 - (-9raiz2) = 18raiz2

Resposta

A área da região delimitada por y = 9 - x^2 e y = x^2 é 18raiz2.

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