Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y=9-x^2,(x+3)^2=-4 y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar duas parábolas e calcular a área da região que elas delimitam. A primeira é
y = 9 - x^2,
uma parábola com vértice em (0,9) e que se abre para baixo. A segunda é
(x+3)^2 = -4y,
que equivale a
y = -tfrac14,(x+3)^2,
uma parábola com vértice em (-3,0) também se abrindo para baixo. Para achar a região delimitada por elas, vamos (1) encontrar os pontos de interseção, (2) determinar qual curva fica por cima na região e (3) integrar a diferença entre as curvas.

Passo 2

Igualamos as duas expressões de y:
9 - x^2 = -tfrac14,(x+3)^2
Multiplicando por 4 e reorganizando:
36 - 4x^2 = -(x+3)^2 = -x^2 -6x -9
36 - 4x^2 + x^2 + 6x + 9 = 0
-3x^2 +6x +45 = 0
x^2 -2x -15 = 0
x = 2 pm raiz4 +602 = -3,;5
Substituindo em y=9 - x^2 dá os pontos de interseção
(-3,0)e(5,-16)

Passo 3

Para x entre -3 e 5, verifica-se que
9 - x^2 ;>=; -tfrac14,(x+3)^2,
ou seja, y=9-x^2 fica acima. Então a área procurada é
A = integral-3^5 l[(9 - x^2) - l(-tfrac14,(x+3)^2r)r],dx = integral-3^5 l[9 - x^2 + tfrac14,(x+3)^2r] dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
9 - x^2 + tfrac14(x^2 +6x +9) = -tfrac34,x^2 + tfrac32,x + tfrac454
Logo
A = integral-3^5l(-tfrac34,x^2 + tfrac32,x + tfrac454r)dx
Uma primitiva é
F(x) = -tfrac14,x^3 + tfrac34,x^2 + tfrac454,x
Calculando
F(5) = 1754, F(-3) = -814,
temos
A = F(5) - F(-3) = 1754 - l(-814r) = 2564 = 64

Resposta

A área da região delimitada pelas duas parábolas é 64 unidades quadradas.

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