Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar duas parábolas e calcular a área da região que elas delimitam. A primeira é
uma parábola com vértice em
e que se abre para baixo. A segunda é
que equivale a
uma parábola com vértice em
também se abrindo para baixo. Para achar a região delimitada por elas, vamos (1) encontrar os pontos de interseção, (2) determinar qual curva fica por cima na região e (3) integrar a diferença entre as curvas.
Passo 2
Igualamos as duas expressões de
:
Multiplicando por
e reorganizando:
Substituindo em
dá os pontos de interseção
Passo 3
Para
entre
e
, verifica-se que
ou seja,
fica acima. Então a área procurada é
Passo 4
Expandindo o integrando:
Logo
Uma primitiva é
Calculando
temos
Resposta
A área da região delimitada pelas duas parábolas é
unidades quadradas.