Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções e determine onde elas não são deriváveis: .
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função e a determinação dos pontos onde ela não é derivável. Vamos usar a definição de valor absoluto para reescrever em forma piecewise, depois traçar cada ramo (que são parábolas) e, por fim, calcular a derivada à direita e à esquerda em cada ponto, verificando especial atenção em .
Isto significa que para x>=0 temos a parábola y=x^2 (abertura para cima) e para x<0 a parábola y=-x^2 (abertura para baixo). No gráfico elas se encontram continuamente em (0,0).
Passo 3
Agora vamos obter a derivada nos dois ramos, usando derivação de potência:
Para x>0: f'(x)=ddx(x^2)=2x,
Para x<0: f'(x)=ddx(-x^2)=-2x
Passo 4
Falta verificar a derivabilidade em x=0. Calculamos as derivadas laterais:
Como ambas as derivadas laterais coincidem e valem 0, a derivada em 0 existe e é f'(0)=0.
Passo 5
Concluímos que em todo ponto xinR a derivada de f existe: para x<0 é -2x, em x=0 é 0 e para x>0 é 2x. Logo não há ponto de não derivabilidade.
Resposta
O gráfico de f(x)=x|x| é a parábola y=-x^2 para x<0 (abertura para baixo) e a parábola y=x^2 para x>=0 (abertura para cima), encontrando-se em (0,0). A função é derivável em todo R; não há pontos de não derivabilidade.
Cálculo - Simmons - Cálculo com Geometria Analitica - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 2.Problemas Suplementares do Capítulo 2 - Ex. 2.3.7.d