Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções e determine onde elas não são deriváveis:
x|x|.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função f(x)=x|x| e a determinação dos pontos onde ela não é derivável. Vamos usar a definição de valor absoluto para reescrever f em forma piecewise, depois traçar cada ramo (que são parábolas) e, por fim, calcular a derivada à direita e à esquerda em cada ponto, verificando especial atenção em x=0.

Passo 2

Para entender o gráfico, note que
|x|= x, & x>=0, -,x, & x<0
Logo
f(x)=x|x|= xcdot x = x^2, & x>=0, xcdot(-x)= -,x^2, & x<0
Isto significa que para x>=0 temos a parábola y=x^2 (abertura para cima) e para x<0 a parábola y=-x^2 (abertura para baixo). No gráfico elas se encontram continuamente em (0,0).

Passo 3

Agora vamos obter a derivada nos dois ramos, usando derivação de potência:
Para x>0: f'(x)=ddx(x^2)=2x,
Para x<0: f'(x)=ddx(-x^2)=-2x

Passo 4

Falta verificar a derivabilidade em x=0. Calculamos as derivadas laterais:
f'+(0)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+h^2-0h =limhto0^+h=0,
f'-(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^--h^2-0h =limhto0^-(-h)=0
Como ambas as derivadas laterais coincidem e valem 0, a derivada em 0 existe e é f'(0)=0.

Passo 5

Concluímos que em todo ponto xinR a derivada de f existe: para x<0 é -2x, em x=0 é 0 e para x>0 é 2x. Logo não há ponto de não derivabilidade.

Resposta

O gráfico de f(x)=x|x| é a parábola y=-x^2 para x<0 (abertura para baixo) e a parábola y=x^2 para x>=0 (abertura para cima), encontrando-se em (0,0). A função é derivável em todo R; não há pontos de não derivabilidade.

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