Esboce o gráfico das funções, incluindo ao menos dois períodos.
f(x)=33 x+sen(pi x)-1

Passo 1

O enunciado pede o esboço de
f(x)=33x+sin(pi x)-1
incluindo pelo menos dois períodos completos da parte senoidal. Aqui o conteúdo é soma de uma função afim e de uma função periódica. Para resolver, vamos (a) decompor a função em reta + seno, (b) achar amplitude e período do seno, (c) localizar máximos, mínimos e zeros, (d) escolher um intervalo de dois períodos e calcular valores-chave, (e) combinar tudo num esboço.

Passo 2

Decompondo
f(x)=underbrace33x-1reta L(x);+;underbracesin(pi x)oscilação S(x) çã
A reta L(x)=33x-1 tem coeficiente angular 33 e intercepto -1. A oscilação S(x)=sin(pi x) tem amplitude e período que vamos determinar.

Passo 3

Amplitude de S(x)
A=1
Período de S(x): se sin(Bx) tem período T=tfrac2piB, aqui B=pi, logo
T=2pipi=2
Isso significa que a onda senoidal completa repete-se a cada 2 unidades em x.

Passo 4

Pontos característicos de S(x):
— zeros em pi x=kpiimplies x=k, kinZ.
— máximos em pi x=tfracpi2+2kpiimplies x=tfrac12+2k.
— mínimos em pi x=tfrac3pi2+2kpiimplies x=tfrac32+2k.
Em cada ponto,
f(x)=33x-1+sin(pi x)=33x-1pm1(dependendo do sinal de sin)

Passo 5

Para esboçar dois períodos, escolha xin[0,4]. Calculamos em x=0,tfrac12,1,tfrac32,2,tfrac52,3,tfrac72,4:
x=0:;f(0)=33cdot0-1+0=-1.
x=tfrac12:;sin(pi/2)=1, f=tfrac332-1+1=16,5.
x=1:;sin(pi)=0, f=33-1=32.
x=tfrac32:;sin(3pi/2)=-1, f=tfrac992-1-1=47,5.
x=2:;sin(2pi)=0, f=66-1=65.
x=tfrac52:;sin(5pi/2)=1, f=tfrac1652-1+1=82,5.
x=3:;sin(3pi)=0, f=99-1=98.
x=tfrac72:;sin(7pi/2)=-1, f=tfrac2312-1-1=113,5.
x=4:;sin(4pi)=0, f=132-1=131.

Passo 6

Esboço do gráfico:
1. Trace a reta de base L(x)=33x-1.
2. Marque os pontos de cima e de baixo obtidos em

Passo 7

3. Em seguida, desenhe a curva senoidal que oscila com amplitude 1 em torno de L(x), respeitando período 2.
4. Conecte suavemente os pontos, obtendo dois “ímpetos” completos da onda sobre a reta crescente.

Resposta

O gráfico de f(x) é uma reta de coeficiente angular 33 e intercepto -1 sobre a qual “anda” uma oscilação de amplitude 1 e período 2. Em x=0,1,2,3,4 a curva atinge as alturas -1,32,65,98,131; em x=tfrac12,tfrac52 faz picos em 16,5,82,5; em x=tfrac32,tfrac72 atinge vales em 47,5,113,5. Desenhando esses pontos e ligando-os por uma curva suave, obtemos o esboço com dois períodos completos.

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