O dono de um restaurante verificou que, quando o preço da dose de vodca era 10,00 , o número de doses vendidas era 200 por semana Verificou também que, quando o preço caía para úéçí 7,00, o número de doses passava para 400 por semana.
a) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear.
b) Obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro semanal, considerando o custo de uma dose igual a $4,00.

Passo 1

O enunciado nos dá duas observações do preço p (em unidades monetárias) e da quantidade demandada Q (em doses por semana):
quando p=10 temos Q=200, e quando p=7 temos Q=400.
Precisamos (a) modelar essa demanda por uma reta e (b) escolher o preço que maximiza o lucro semanal, sabendo que o custo por dose é 4.

Passo 2

Assumimos a demanda linear
Q(p)=a+b,p
Como
Q(10)=200implies a+10b=200, Q(7)=400implies a+7b=400,
subtraindo obtemos 3b=-200, logo b=-tfrac2003.
Então
a=200-10b=200+10cdottfrac2003=tfrac26003
Portanto
Q(p)=26003-2003,p

Passo 3

O lucro semanal pi(p) é receita menos custo. A receita é p,Q(p) e o custo total é 4,Q(p), então
pi(p)=(p-4),Q(p) =(p-4)l(26003-2003pr)

Passo 4

Para maximizar, expandimos e derivamos:
pi(p)=-200,p^2+3400,p-104003,
pi'(p)=-400,p+34003
Igualando a zero:
-400,p+3400=0 Rightarrow p=3400400=8,5

Passo 5

Como pi''(p)=-tfrac4003<0, esse valor é de fato um máximo local.

Resposta

(a) Q(p)=tfrac26003-tfrac2003,p.
(b) p=8,50.

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