Esboce os gráficos das funções abaixo:
l) f(x)=8 x^0,75

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=8,x^0,75
Aqui estamos lidando com uma função potência de expoente alpha=0,75 (menor que 1), definida para x>=0. Para esboçar o gráfico, vamos precisar:
  • determinar domínio e imagem;
  • encontrar pontos notáveis (intercepto, alguns valores de referência);
  • estudar monotonicidade (primeira derivada);
  • estudar concavidade (segunda derivada) e comportamento das retas tangentes em xto0^+ e xto+infty.

Passo 2

Domínio e pontos notáveis:
O expoente 0,75=tfrac34 exige x>=0.
  • Em x=0, f(0)=8cdot 0^0,75=0
  • Em x=1, f(1)=8cdot1^0,75=8
  • Em x=16, note que 16^0,75=(2^4)^3/4=2^3=8, então f(16)=8cdot8=64
Esses pontos (0,0), (1,8), (16,64) nos dão boa ideia de escala.

Passo 3

Monotonicidade:
Calculamos a primeira derivada
f'(x)=8cdot0,75,x^0,75-1=6,x^-0,25
Como x^-0,25>0 para todo x>0, segue que f'(x)>0. Logo, f é estritamente crescente em [0,infty).

Passo 4

Concavidade e comportamento das tangentes:
A segunda derivada é
f''(x)=6cdot(-0,25),x^-1,25=-1,5,x^-1,25
Como f''(x)<0 para x>0, f é côncava para baixo. Além disso:
  • Quando xto0^+, f'(x)=6,x^-0,25to+infty, logo há uma tangente “quase vertical” na origem.
  • Quando xto+infty, f'(x)to0^+, o gráfico vai achatando horizontalmente.

Passo 5

Esboço final:
  • Domínio em [0,infty), imagem em [0,infty).
  • Passa por (0,0), “subindo rápido” logo após a origem, depois vai subindo cada vez mais lentamente.
  • Intercepta o ponto (1,8) e curva passa por (16,64).
  • É crescente e côncava para baixo, com tangente quase vertical em x=0 e tangente quase horizontal em xtoinfty.

Resposta

O gráfico de f(x)=8,x^0,75 é uma curva que parte de (0,0), cresce rapidamente no início (tangente quase vertical), passa por (1,8), conserva-se crescente e côncava para baixo, e vai se achatando à medida que x cresce, aproximando-se horizontalmente do infinito.

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