Esboce os gráficos das funções abaixo:
l)
l)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Aqui estamos lidando com uma função potência de expoente
(menor que 1), definida para
. Para esboçar o gráfico, vamos precisar:
- determinar domínio e imagem;
- encontrar pontos notáveis (intercepto, alguns valores de referência);
- estudar monotonicidade (primeira derivada);
- estudar concavidade (segunda derivada) e comportamento das retas tangentes em
e .
Passo 2
Domínio e pontos notáveis:
O expoente exige
.
O expoente
- Em
, - Em
, - Em
, note que , então
Esses pontos
,
,
nos dão boa ideia de escala.
Passo 3
Monotonicidade:
Calculamos a primeira derivada
Calculamos a primeira derivada
Como
para todo
, segue que
. Logo,
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Concavidade e comportamento das tangentes:
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Como
para
,
é côncava para baixo. Além disso:
- Quando
, , logo há uma tangente “quase vertical” na origem. - Quando
, , o gráfico vai achatando horizontalmente.
Passo 5
Esboço final:
- Domínio em
, imagem em . - Passa por
, “subindo rápido” logo após a origem, depois vai subindo cada vez mais lentamente. - Intercepta o ponto
e curva passa por . - É crescente e côncava para baixo, com tangente quase vertical em
e tangente quase horizontal em .
Resposta
O gráfico de
é uma curva que parte de
, cresce rapidamente no início (tangente quase vertical), passa por
, conserva-se crescente e côncava para baixo, e vai se achatando à medida que
cresce, aproximando-se horizontalmente do infinito.