Esboce as regiões determinadas por:
x+yx-2 y+3<0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano em que
x+y,x-2y+3,<0
O conteúdo aqui é análise de sinal de uma fração. Para resolver, vamos:
  1. Identificar as retas que anulam numerador e denominador.
  2. Ver onde numerador e denominador têm sinais opostos.

Passo 2

As retas que formam as fronteiras são
x+y=0 e x-2y+3=0
Reescrevendo em forma y=f(x):
y=-x, y=x+32
Essas duas retas se cruzam onde
,x+y=0 e x-2y+3=0. Substituindo y=-x em x-2y+3=0
x-2(-x)+3=0;Longrightarrow;3x+3=0;Longrightarrow;x=-1,;y=1

Passo 3

Para ter x+yx-2y+3<0 é preciso que x+y e x-2y+3 tenham sinais opostos.
Isto é, ou
x+y>0, x-2y+3<0,
ou
x+y<0, x-2y+3>0

Passo 4

Transformando em condições sobre y:
  1. x+y>0iff y>-x
    e x-2y+3<0iff 2y>x+3iff y>x+32
    Logo uma região é y>-x e y>x+32
  2. x+y<0iff y<-x
    e x-2y+3>0iff y<x+32
    Logo a outra região é y<-x e y<x+32

Resposta

As regiões solução são os dois “cones” abertos definidos por
l(x,y)mid y>-x,;y>tfracx+32r cup l(x,y)mid y<-x,;y<tfracx+32r,
com as retas y=-x e y=(x+3)/2 desenhadas tracejadas (não incluídas).

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