O enunciado pede para esboçar a região do plano que satisfaz o sistema de inequações lineares
x + y < 2, 2y - 2x > 4
O conteúdo é geometria analítica: cada inequação define um semiplano, e a solução é a interseção desses semiplanos.
Passo 2
Vamos colocar cada inequação na forma y = mx + b.
Da primeira inequação x + y < 2, isolamos y:
y < 2 - x,
ou seja, a reta de contorno é
y = 2 - x
(com declive -1 e intercepto 2).
Passo 3
Da segunda inequação 2y - 2x > 4, dividimos por 2:
y - x > 2 Longrightarrow y > x + 2
A reta de contorno é
y = x + 2
(com declive +1 e intercepto 2).
Passo 4
Para cada reta, como as desigualdades são estritas, desenhamos as retas tracejadas.
– Na reta y = 2 - x, testamos um ponto fácil (por exemplo (0,0)): como 0 not< 2 é falso, a região válida fica abaixo dessa reta.
– Na reta y = x + 2, testamos (0,0): como 0 not> 2 é falso, a região válida fica acima dessa reta.
Passo 5
A solução do sistema é o semiplano estrito abaixo de y=2-x e estrito acima de y=x+2. Para existir interseção, é necessário
x+2 < 2 - x Longrightarrow 2x < 0 Longrightarrow x < 0
Logo a região é um “cinturão” aberto, entre as duas retas tracejadas, limitado lateralmente pela condição x<0.
Resposta
Esboce no plano cartesiano:
– A reta tracejada y = 2 - x.
– A reta tracejada y = x + 2.
– Sombreie a região estrita entre essas retas, que fica acima de y = x + 2, abaixo de y = 2 - x, e com x<0.
Cálculo - Maurício A. Vilches - Cálculo para Economia e Administração - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 1.11 - Ex. 27.b