Esboce as regiões da solução de:
lx+y>2 -2 x+y <= 1 -x+2 y >=-3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano definida pelo sistema de desigualdades lineares
x + y > 2, -2x + y <= 1, -,x + 2y >= -3
O conteúdo aqui é geometria analítica de meias-planícies: cada desigualdade determina um meio-plano, e a solução é a interseção desses três meios-planos.

Passo 2

Vamos escrever as retas fronteira de cada desigualdade em forma y = mx + b:
– Reta L1colon x + y = 2 Rightarrow y = -,x + 2.
– Reta L2colon -2x + y = 1 Rightarrow y = 2x + 1.
– Reta L3colon -x + 2y = -3 Rightarrow 2y = x - 3 Rightarrow y = tfracx2 - tfrac32

Passo 3

Para cada desigualdade, decidimos de que lado da reta devemos sombrear:
1. x+y>2. Teste (0,0): 0+0>2 é falso, logo sombreia-se acima de L1.
2. -2x+y<=1. Teste (0,0): 0<=1 é verdadeiro, logo sombreia-se abaixo (ou sobre) de L2.
3. -x+2y>=-3. Teste (0,0): 0>=-3 é verdadeiro, logo sombreia-se acima (ou sobre) de L3.

Passo 4

A região solução é a interseção desses três meios-planos, isto é
l(x,y)mid y>-x+2,;y<=2x+1,;y>=tfracx2-tfrac32r
Para visualizar melhor, marque os pontos de interseção das retas:
L1cap L2=(tfrac13,tfrac53), L1cap L3=(tfrac73,-tfrac13), L2cap L3=(-tfrac53,-tfrac73)
Destes, apenas os dois primeiros definem o “vértice” esquerdo da região (na linha L1), e note que para x muito grande a região continua indefinidamente à direita, pois o meio-plano entre L2 e L3 estende-se sem limite nesse sentido.

Passo 5

Para esboçar, faça o seguinte:
1. Desenhe os eixos e trace as retas L1 (declive -1, intercepto 2), L2 (declive 2, intercepto 1) e L3 (declive 1/2, intercepto -3/2).
2. Sombreie acima de L1, abaixo de L2 e acima de L3.
3. A região comum ficará entre L2 e L3, cortada por cima de L1 e aberta para a direita.

Resposta

A região solução é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente
y>-x+2, y<=2x+1, y>=tfracx2-tfrac32,
ou seja, o meio-plano acima de L1, abaixo de L2 e acima de L3, formando uma faixa triangular que se estende indefinidamente para a direita.

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