Esboce e represente parametricamente o/a:
Hipérbole x y=1 de 1+i a 4+\frac{1}{4} i

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano complexo a hipérbole dada por xy=1 e apresentar uma representação paramétrica do ramo que vai de 1+i (onde (x,y)=(1,1)) até 4+\tfrac14\,i (onde (x,y)=(4,\tfrac14)). O conteúdo é curvas definidas implicitamente e sua parametrização.

Passo 2

A equação
F(x,y)=xy-1=0
define uma hipérbole retangular com assíntotas nos eixos reais e imaginários. Para fazer a parametrização de um ramo, basta resolver para y em termos de x, desde que x\neq0:
y=\frac1x.
Como os pontos dados estão no primeiro quadrante ( x>0,\,y>0), podemos escolher x como parâmetro livre.

Passo 3

Tomando t=x como parâmetro, obtemos
x(t)=t, \quad y(t)=\frac1t,
que garante x(t)\,y(t)=1. Para percorrer o segmento da hipérbole de (1,1) até \bigl(4,\tfrac14\bigr), fazemos
t\in[1,4].
Em coordenadas complexas isso vira
z(t)=x(t)+i\,y(t)=t+\frac{i}{t},\quad t\in[1,4].

Passo 4

Para esboçar no plano complexo, coloque o eixo real na horizontal e o imaginário na vertical. Quando t=1 está em 1+i, e conforme t cresce até 4, a curva se afasta na horizontal e se aproxima do eixo real (pois y=1/t decresce). Pode plotar alguns pontos intermediários, por exemplo
t=2\mapsto 2+\tfrac i2, \quad t=3\mapsto 3+\tfrac i3,
e traçar a curva suave passando por esses pontos.

Resposta

A parametrização do ramo da hipérbole xy=1 que vai de 1+i a 4+\tfrac14\,i é
z(t)=t + \frac{i}{t},\quad t\in[1,4].

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