Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=6 \cos 2 t+5 i \operatorname{sen} 2 t(0 \leqq t \leqq \pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva no plano complexo
z(t)=6\cos(2t)+5\,i\sin(2t), \quad 0 \le t \le \pi
e pede que a gente obtenha a forma cartesiana do caminho, identifique que tipo de curva é e esboce-a com sua orientação. O conteúdo é parametrização de curvas no plano, em particular elipse.

Passo 2

Separamos parte real e parte imaginária para ver a parametrização em (x,y):
x(t)=\Re z(t)=6\cos(2t), \quad y(t)=\Im z(t)=5\sin(2t).

Passo 3

Para ver que curva é, eliminamos o parâmetro. Usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 com \theta=2t, obtemos
\frac{x(t)^2}{6^2} + \frac{y(t)^2}{5^2} = \cos^2(2t)+\sin^2(2t) =1.
Logo trata-se de uma elipse centrada na origem, semieixo horizontal 6 e semieixo vertical 5.

Passo 4

O parâmetro vai de t=0 até t=\pi, ou seja \theta=2t vai de 0 até 2\pi. Isso faz com que a elipse seja percorrida uma volta completa. Como \theta cresce, a orientação é no sentido anti-horário (CCW). Em particular:
  • Em t=0 temos (x,y)=(6,0).
  • Em t=\pi/4 temos \theta=\pi/2 e (x,y)=(0,5).
  • Em t=\pi/2 temos \theta=\pi e (x,y)=(-6,0).
  • Em t=3\pi/4 temos \theta=3\pi/2 e (x,y)=(0,-5).
  • Em t=\pi voltamos a (6,0).

Passo 5

Esboço da elipse com orientação anti-horária:
\begin{array}{c} \text{y} \\[2pt] \uparrow \\[2pt] \quad (0,5)\quad\bullet \\[4pt] \quad\quad\diagramEllipseArrow\\\ \bullet\;(-6,0)\quad\longleftarrow\quad\bullet\;(6,0) \\[4pt] \quad\quad\diagramEllipseArrowCCW\\\ \quad (0,-5)\;\bullet \\[2pt] \to \\[2pt] \text{x} \end{array}
Neste desenho, as setas seguem a elipse no sentido anti-horário, começando em (6,0), passando por (0,5), (-6,0), (0,-5) e retornando a (6,0).]

Resposta

A curva é a elipse
\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1,
com semieixos 6 (eixo x) e 5 (eixo y), percorrida uma volta completa no sentido anti-horário conforme t aumenta de 0 a \pi.

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