Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
Passo 1
O enunciado nos dá a curva no plano complexo
e pede que a gente obtenha a forma cartesiana do caminho, identifique que tipo de curva é e esboce-a com sua orientação. O conteúdo é parametrização de curvas no plano, em particular elipse.
Passo 2
Separamos parte real e parte imaginária para ver a parametrização em
:
Passo 3
Para ver que curva é, eliminamos o parâmetro. Usando
com
, obtemos
Logo trata-se de uma elipse centrada na origem, semieixo horizontal
e semieixo vertical
.
Passo 4
O parâmetro vai de
até
, ou seja
vai de
até
. Isso faz com que a elipse seja percorrida uma volta completa. Como
cresce, a orientação é no sentido anti-horário (CCW). Em particular:
- Em
temos . - Em
temos e . - Em
temos e . - Em
temos e . - Em
voltamos a .
Passo 5
Esboço da elipse com orientação anti-horária:
Neste desenho, as setas seguem a elipse no sentido anti-horário, começando em
, passando por
,
,
e retornando a
.]
Resposta
A curva é a elipse
com semieixos
(eixo
) e
(eixo
), percorrida uma volta completa no sentido anti-horário conforme
aumenta de
a
.