Esboce e represente parametricamente o/a:
Parábola y=4-4 x^{2}(-1 \leqq x \leqq 1)

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a representação paramétrica da parábola definida por
y = 4 - 4x^2,
com domínio -1 \le x \le 1. O conteúdo aqui é curvas paramétricas e identificação de características de uma função quadrática (vértice, concavidade, zeros).

Passo 2

Identificamos que y=4-4x^2 é uma função quadrática em x com coeficiente principal negativo, ou seja, é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
  • Vértice em (0,4).
  • Zeros em x=\pm1, pois 4-4x^2=0 x^2=1.

Passo 3

Para representar esta curva de modo paramétrico, basta usar t como parâmetro associado a x. Assim definimos
x(t) = t,\quad y(t) = 4 \;-\; 4\,t^2,
com o parâmetro variando em
-1 \le t \le 1.

Passo 4

Verificamos domínio e imagem da curva:
  • Para t=-1 e t=1 temos y=0, obtendo os pontos (-1,0) e (1,0).
  • Para t=0 temos y=4, obtendo o vértice (0,4).
    A curva é simétrica em relação ao eixo y e liga suavemente (-1,0) a (1,0), passando pelo vértice.

Passo 5

Esboço da parábola (visão descritiva):
  • Traçar eixos x e y.
  • Marcar os pontos (-1,0), (0,4), (1,0).
  • Desenhar uma curva suave, com concavidade para baixo, passando por esses pontos e simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

A representação paramétrica é
\begin{cases} x(t) = t,\\\ y(t) = 4 - 4\,t^2, \end{cases} \quad -1 \le t \le 1.
O esboço é uma parábola com vértice em (0,4) e interceptos em (-1,0) e (1,0), concavidade voltada para baixo.

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