Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=1+2 t+8 i t^{2}(-1 \leqq t \leqq 1)

Passo 1

O enunciado nos dá um caminho no plano complexo parametrizado por
z(t)=1+2t+8\,i\,t^{2},\quad -1\le t\le1.
O conteúdo é parametrização de curvas em \mathbb{C}. Vamos extrair as partes real e imaginária, achar a equação cartesiana e indicar a orientação.

Passo 2

Seja z(t)=x(t)+i\,y(t). Então
x(t)=\Re\bigl(z(t)\bigr)=1+2t,
y(t)=\Im\bigl(z(t)\bigr)=8\,t^{2}.

Passo 3

Para obter a forma cartesiana, resolvemos t em função de x:
t=\frac{x-1}{2}.
Substituindo em y(t) temos
y = 8\Bigl(\frac{x-1}{2}\Bigr)^{2} =2\,(x-1)^{2}.
Portanto o caminho é a parábola
y=2\,(x-1)^{2},\quad x\in[-1,3],
pois quando t=-1 vem x=-1 e quando t=1 vem x=3.
A orientação segue o aumento de t: entra-se em (-1,8), vai até o vértice (1,0) em t=0 e segue até (3,8) em t=1.

Passo 4

Esboço (plano xy, seta indica sentido de t crescente):
\begin{array}{c} \text{y} \\\ \text{10} \\\ \text{8} \, \bullet\,(-1,8)\text{———————}\bullet\,(3,8) \\\ \text{6} \\\ \text{4} \\\ \text{2} \, \bullet\,(1,0) \\\ \text{0} \\\ \text{x} \\\ \text{–113} \end{array}
Setas na curva apontam de (-1,8) para (1,0) e depois para (3,8).

Resposta

O caminho é a parábola
\gamma:\;y=2\,(x-1)^{2},\quad x\in[-1,3],
orientada de (-1,8) para (3,8) segundo o parâmetro t.

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