Esboce e represente parametricamente o/a:
Semi-elipse x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1, y \geqq 0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a semi-elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\quad y\ge0:
1. Representação paramétrica.
2. Esboço do gráfico (metade superior da elipse de semieixos a e b).

Passo 2

Para parametrizar elipses usamos as funções cosseno e seno porque elas satisfazem a relação
\cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Proponho
x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t.

Passo 3

Mostramos que essa parametrização satisfaz a equação implícita. Substituindo em
\tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}
temos
\frac{(a\cos t)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin t)^{2}}{b^{2}} =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 4

Como queremos apenas a metade superior ( y\ge0), escolhemos
t\in[0,\pi],
pois nesse intervalo \sin t\ge0. Assim y(t)=b\sin t\ge0 e x(t) varia de a (em t=0) a -a (em t=\pi).

Passo 5

Esboço da curva:
  • Pontos extremos na base: (a,0) e (-a,0).
  • Ponto mais alto no meio: (0,b).
  • Forma suave, simétrica em relação ao eixo y.
y
\uparrow \quad \bullet \ ((0),b)
│ \quad / \quad \
│ \quad \bullet \ ((-a),(0)) \quad \quad \bullet \ ((a),(0)) \to x

Resposta

Representação paramétrica:
\begin{cases} x(t)=a\cos t,\\\ y(t)=b\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,\pi].
Esboço: metade superior de uma elipse centrada na origem, com semieixo horizontal a e semieixo vertical b.

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