(Escola Naval-05) Considere a .natriz quadrada \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{y}^{2} & 2 & 1 \\\\ -2 & 2 \mathrm{y}^{2} & -1 \\\\ 4 & 3 & 1\end{array}\right) onde y \in I R. O produto dos valores de y, para os quais o determinante de \underline{A} é igual a menor raiz da equação |x-3|=15 é
a) 1
b) \frac{1}{2}
c) -\frac{1}{2}
d) -1
e) -\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede o produto de todos os valores de y tais que o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} y^2 & 2 & 1\\\\ -2 & 2y^2 & -1\\\\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}
é igual à menor raiz da equação \lvert x-3\rvert = 15. Vamos usar cálculo de determinante de matriz 3\times3 e resolver uma equação em y.

Passo 2

A equação
\lvert x-3\rvert = 15
leva a
x-3 = \pm 15 \quad\Longrightarrow\quad x = 18 \text{ ou } x = -12.
A menor raiz é -12.

Passo 3

Calculamos \det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) = y^2\bigl(2y^2\cdot1 - (-1)\cdot3\bigr) - 2\bigl((-2)\cdot1 -(-1)\cdot4\bigr) + 1\bigl((-2)\cdot3 - 2y^2\cdot4\bigr).
Isso dá
\det(A) = y^2(2y^2+3) -2(2) +(-6-8y^2) =2y^4+3y^2 -4 -6 -8y^2 =2y^4 -5y^2 -10.

Passo 4

Igualando ao valor -12:
2y^4 -5y^2 -10 = -12 \quad\Longrightarrow\quad 2y^4 -5y^2 +2 = 0.
Fazendo t = y^2, obtemos
2t^2 -5t +2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{5 \pm 3}{4}
isto é t = 2 ou t = \tfrac12.

Passo 5

Logo
y^2 = 2 \,\Rightarrow\, y = \pm \sqrt{2}, \qquad y^2 = \tfrac12 \,\Rightarrow\, y = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
As quatro soluções são \sqrt2,\,-\sqrt2,\,\tfrac1{\sqrt2},\,-\tfrac1{\sqrt2}.

Passo 6

O produto dessas quatro raízes é
(\sqrt2)(-\sqrt2)\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2}\Bigr) = (-2)\times\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =1.

Resposta

1
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