(Insper-11) Dado um número inteiro e positivo n. considere a matriz A, de tamanho 2 \times \mathrm{n}, definida por
A=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \end{array}\right] .
Por exemplo, para \mathrm{n}=3, temos que A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]. Dada a identidade 1^{2}+2^{2} +3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} e
representando por \mathrm{A}^{\mathrm{r}} a matriz transposta de A , o determinante da matriz \mathrm{A} . \mathrm{A}^{\mathrm{T}} é
a) \left(n^{2}-n\right) / 6
b) \left(n^{4}-n^{2}\right) / 12
c) \left(n^{4}+n^{2}-2\right) / 18
d) \left(n^{2}-n\right) / 12
e) \left(n^{4}-n^{2}\right) / 6

Passo 1

O enunciado define a matriz A de tamanho 2\times n cujas linhas são
(1,2,3,\dots,n) \quad\text{e}\quad (1,1,1,\dots,1),
e pede o determinante de A\,A^T. Vamos usar produto de matrizes e a fórmula do determinante de matriz 2\times2.

Passo 2

O produto A\,A^T é uma matriz 2\times2 cujos elementos são
(A\,A^T)_{11}=\sum_{k=1}^n k^2,\quad (A\,A^T)_{12}=(A\,A^T)_{21}=\sum_{k=1}^n k,\quad (A\,A^T)_{22}=\sum_{k=1}^n 1.

Passo 3

Chamando
s_1 = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad s_2 = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad s_0 = \sum_{k=1}^n 1 = n,
temos
A\,A^T = \begin{pmatrix} s_2 & s_1 \\[6pt] s_1 & s_0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para uma matriz \displaystyle \begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix},
\det = a\,c - b^2.
Aqui
\det(A\,A^T) = s_2\;s_0 - s_1^2 = n\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \Bigl(\frac{n(n+1)}{2}\Bigr)^{2}.
Fazendo a simplificação:
n\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} = n^2(n+1)\Bigl(\frac{2n+1}{6}-\frac{n+1}{4}\Bigr) = n^2(n+1)\frac{4n+2-3n-3}{12} = n^2(n+1)\frac{n-1}{12} = \frac{n^2(n^2-1)}{12} = \frac{n^4 - n^2}{12}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, obtém-se a letra (b).

Resposta

(b)
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