(Escola Naval-89) Considere o problema de determinar o triângulo ABC , conhecidos \mathrm{C}=60^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{x} e \mathrm{BC}=6. Podemos afirmar que:
a) sempre admite solução, se x>0
b) admite duas soluções, se x>3
c) admite duas soluções, se x=3
d) admite duas soluções, se 3 \sqrt{3}<x<6

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos o triângulo ABC em que o ângulo \angle C=60^\circ, o lado oposto a A (isto é, BC) vale 6 e o lado oposto a C (isto é, AB) vale x. O problema é da “caso ambíguo” do Teorema dos Senos (situação SSA), e queremos saber para quais valores de x o triângulo admite duas soluções distintas.

Passo 2

Pelo Teorema dos Senos temos
\frac{BC}{\sin A} \;=\;\frac{AB}{\sin C}
ou seja
\frac{6}{\sin A} \;=\;\frac{x}{\sin60^\circ} \quad\Longrightarrow\quad \sin A \;=\;\frac{6\sin60^\circ}{x} \;=\;\frac{6\cdot(\sqrt3/2)}{x} \;=\;\frac{3\sqrt3}{x}.

Passo 3

Para existir solução real do triângulo, precisamos de
0 \;<\;\sin A\;\le\;1 \quad\Longrightarrow\quad 0<\frac{3\sqrt3}{x}\le1.
A parte \frac{3\sqrt3}{x}\le1 x\ge3\sqrt3. Para \frac{3\sqrt3}{x}>0 basta x>0, mas o limite importante é x\ge3\sqrt3.

Passo 4

No caso ambíguo, se \sin A está entre 0 e 1 estritamente, podem surgir duas soluções para A:
A_1=\arcsin\!\bigl(\tfrac{3\sqrt3}{x}\bigr), \quad A_2=180^\circ - A_1.
Mas a segunda só gera um triângulo válido se o ângulo B=180^\circ -60^\circ -A também for positivo. Para A_2 isso dá
B_2 = 120^\circ - A_2 = 120^\circ - \bigl(180^\circ - A_1\bigr) = A_1 - 60^\circ > 0 \quad\Longrightarrow\quad A_1>60^\circ.

Passo 5

Da desigualdade A_1>60^\circ vem
\arcsin\!\bigl(\tfrac{3\sqrt3}{x}\bigr) > 60^\circ \quad\Longrightarrow\quad \frac{3\sqrt3}{x} > \sin60^\circ = \frac{\sqrt3}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{x} > \frac12 \quad\Longrightarrow\quad x < 6.
Para duas soluções precisamos tanto de x>3\sqrt3 (para \sin A<1) quanto de x<6. Logo
3\sqrt3 < x < 6.

Resposta

A alternativa correta é a (d).

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