(Escola Naval-89) Considere o problema de determinar o triângulo ABC , conhecidos
,
e
. Podemos afirmar que:
a) sempre admite solução, se
b) admite duas soluções, se
c) admite duas soluções, se
d) admite duas soluções, se
a) sempre admite solução, se
b) admite duas soluções, se
c) admite duas soluções, se
d) admite duas soluções, se
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos o triângulo
em que o ângulo
, o lado oposto a
(isto é,
) vale
e o lado oposto a
(isto é,
) vale
. O problema é da “caso ambíguo” do Teorema dos Senos (situação SSA), e queremos saber para quais valores de
o triângulo admite duas soluções distintas.
Passo 2
Pelo Teorema dos Senos temos
ou seja
Passo 3
Para existir solução real do triângulo, precisamos de
A parte
dá
. Para
basta
, mas o limite importante é
.
Passo 4
No caso ambíguo, se
está entre 0 e 1 estritamente, podem surgir duas soluções para
:
Mas a segunda só gera um triângulo válido se o ângulo
também for positivo. Para
isso dá
Passo 5
Da desigualdade
vem
Para duas soluções precisamos tanto de
(para
) quanto de
. Logo
Resposta
A alternativa correta é a (d).