(AFA-99) Seja um triângulo com dois de seus lados medindo 2 m e 5 m e área igual a 3 \mathrm{~m}^{2}. Se o ângulo entre esses dois lados do triângulo triplicar, a área do mesmo será aumentada, em quantos \mathrm{m}^{2} ?
a) \frac{36}{25}
b) \frac{42}{25}
c) \frac{12}{5}

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo cujos lados a=2 m e b=5 m formam um ângulo \theta, e a área desse triângulo é 3\text{ m}^2. Precisamos usar a fórmula da área em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles, depois triplicar o ângulo e ver quanto a área aumenta.

Passo 2

A fórmula da área em função de dois lados e do ângulo entre eles é
A = \tfrac12\,a\,b\,\sin\theta.
Substituindo a=2, b=5 e A=3, obtemos
3 = \tfrac12 \cdot 2 \cdot 5 \,\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad 3 = 5\,\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = \tfrac{3}{5}.

Passo 3

Quando o ângulo é triplicado, a nova área A' vale
A' = \tfrac12\,a\,b\,\sin(3\theta) = 5\,\sin(3\theta).
Usando a identidade de triplo ângulo,
\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta,
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A' = 5\bigl(3\sin\theta - 4\sin^3\theta\bigr).

Passo 4

O aumento da área é
\Delta A = A' - A = 5\bigl(3\sin\theta - 4\sin^3\theta\bigr) - 5\sin\theta = 5\bigl(2\sin\theta - 4\sin^3\theta\bigr).
Substituindo \sin\theta=\tfrac{3}{5} e \sin^3\theta=\tfrac{27}{125},
\Delta A = 5\Bigl(2\cdot\tfrac{3}{5} - 4\cdot\tfrac{27}{125}\Bigr) = 5\Bigl(\tfrac{6}{5} - \tfrac{108}{125}\Bigr) = 5\Bigl(\tfrac{150}{125} - \tfrac{108}{125}\Bigr) = 5\cdot\tfrac{42}{125} = \tfrac{42}{25}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{42}{25} (alternativa b)

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