(Escola Naval-01) Considere uma progressão geométrica de razão maior do que 1 em que três de seus termos consecutivos representam as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Se o primeiro termo dessa progressão geométrica é 64, então seu décimo terceiro termo vale:
a) 2(1+\sqrt{3})^{6}
b) (1+\sqrt{3})^{12}
c) (1+\sqrt{5})^{6}
d) \frac{(1+\sqrt{5})^{12}}{2}

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão geométrica (PG) de razão r>1 cujo primeiro termo é 64. Três termos consecutivos dessa PG formam os lados de um triângulo retângulo. Vamos usar a definição de PG e o Teorema de Pitágoras para encontrar r e depois calcular o décimo terceiro termo.

Passo 2

Sejam T_k, T_{k+1} e T_{k+2} três termos consecutivos da PG que são os lados do triângulo. Como o maior lado é a hipotenusa, temos
T_k = 64\,r^{\,k-1},\quad T_{k+1} = 64\,r^{\,k},\quad T_{k+2} = 64\,r^{\,k+1},
e o Teorema de Pitágoras dá
(T_k)^2 + (T_{k+1})^2 = (T_{k+2})^2.

Passo 3

Substituindo os termos na equação de Pitágoras:
\bigl(64\,r^{\,k-1}\bigr)^2 + \bigl(64\,r^{\,k}\bigr)^2 = \bigl(64\,r^{\,k+1}\bigr)^2.
Dividindo ambos os lados por \bigl(64\,r^{\,k-1}\bigr)^2, sai
1 + r^2 = r^4.
Logo, seja x = r^2, temos
x^2 - x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.
Como r>1, fica
r^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

Passo 4

O décimo terceiro termo da PG é
T_{13} = 64\,r^{12}.
Como r^{12} = \bigl(r^2\bigr)^6, obtemos
T_{13} = 64\;\Bigl(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\Bigr)^{6}.

Passo 5

Escrevendo \bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\bigr)^{6} como \tfrac{(1+\sqrt{5})^{6}}{2^{6}}, temos
T_{13} = 64 \cdot \frac{(1+\sqrt{5})^{6}}{2^{6}} = \frac{64}{64}\,(1+\sqrt{5})^{6} = (1+\sqrt{5})^{6}.

Resposta

c) (1+\sqrt{5})^{6}

Exercícios de Livros Relacionados