(ITA-91) Numa progressão geométrica de razão q, sabe-se que:
l- o produto do logaritmo natural do primeiro termo a ı pelo logaritmo natural da razão é 24.
II- a soma do logaritmo natural do segundo termo com o logaritmo natural do terceiro termo é 26.
Se ln q é um número inteiro então o termo geral a_{n} vale:
a) e^{6 n-2}
b) 4^{1+6 n}
c) e^{24 n}
d) e^{\text {d-6 } n}
e) nda
Notação: In q denota o logaritmo natural (ou neperiano) de q

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão geométrica de primeiro termo A e razão q. Sabe-se que (I) \ln A\cdot\ln q=24 e (II) \ln(a_{2})+\ln(a_{3})=26. Queremos achar a expressão de a_{n}, sabendo que \ln q é inteiro.

Passo 2

Da condição (I), escrevemos
\ln A\cdot\ln q = 24.

Passo 3

Na condição (II) temos a_{2}=Aq e a_{3}=Aq^2. Logo,
\ln(a_{2})+\ln(a_{3}) =\ln(Aq)+\ln(Aq^2) =(\ln A+\ln q)+(\ln A+2\ln q) =2\ln A+3\ln q =26.

Passo 4

Defina x=\ln q (inteiro) e y=\ln A. O sistema fica
yx=24, \qquad 2y+3x=26.
Da primeira equação y=24/x. Substituindo na segunda:
2\frac{24}{x}+3x=26 \;\Longrightarrow\; \frac{48}{x}+3x-26=0 \;\Longrightarrow\; 3x^2-26x+48=0.
A resolução dá
x=\frac{26\pm\sqrt{26^2-4\cdot3\cdot48}}{6} =\frac{26\pm10}{6},
isto é, x=6 ou x=\tfrac{8}{3}. Como x é inteiro, \ln q=x=6.

Passo 5

Com \ln q=6, da primeira equação y=\ln A=24/6=4. Assim
A=e^4, \quad q=e^6.

Passo 6

O termo geral é
a_{n}=A\,q^{\,n-1} =e^4\,(e^6)^{\,n-1} =e^4\,e^{6n-6} =e^{6n-2}.

Resposta

a) e^{6n-2}

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