(UFMA-01) Seja A uma matriz tal que A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1\end{array}\right). Então o elemento a32 da matriz inversa de A é: a) -1 / 15 b) 1 / 12 c) -5 / 12 d) -2 / 15 e) -1 / 3 Passo 1O enunciado dá a matriz A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} e pede o elemento a_{32} da inversa A^{-1}. O conteúdo aqui é inversão de matriz 3\times3 usando a fórmula A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A), onde \mathrm{adj}(A) é a matriz de cofatores transposta. Passo 2Calcular o determinante de A. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha: \det(A) = 2\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 3 & 1\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 3\end{vmatrix}. Agora cada menor: \begin{vmatrix}2 & 1\\\ 3 & 1\end{vmatrix} =2\cdot1 -1\cdot3 = -1, \quad \begin{vmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{vmatrix} =1\cdot1 -1\cdot(-1)=2, \quad \begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 3\end{vmatrix} =1\cdot3 -2\cdot(-1)=5. Logo \det(A) = 2\cdot(-1) +1\cdot2 +3\cdot5 = -2 +2 +15 = 15. Passo 3Para obter a_{32} de A^{-1} usamos que (A^{-1})_{3,2} = \frac{1}{\det(A)}\,(\mathrm{adj}(A))_{3,2} = \frac{1}{\det(A)}\,C_{2,3}, onde C_{2,3} é o cofactor da entrada da linha 2, coluna 3 de A. Passo 4Calcular C_{2,3}. O menor correspondente, removendo linha 2 e coluna 3, é \begin{vmatrix} 2 & -1\\\\ -1 & 3 \end{vmatrix} =2\cdot3 -(-1)\cdot(-1) = 6 -1 = 5. O sinal do cofator é (-1)^{2+3} = -1, então C_{2,3} = -1 \times 5 = -5. Passo 5Substituindo em (A^{-1})_{3,2} = C_{2,3}/\det(A), temos (A^{-1})_{3,2} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3}. Respostae) -\tfrac{1}{3} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 32Ver Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados(FGV-19) Dadas as matrizes quadradas A=\left[\begin{array}{cc}\cos x & -\operatorname{sen} x \\\ \operatorname{sen} x & \cos x\end{array}\right] e B= \left[\begin{array}{cc}\operatorname{sen} x & \cos x \\\\ -\cos x & \operatorname{sen} x\end{array}\right], o valor de \frac{\operatorname{det}(A+B)}{\operatorname{det}(A \cdot B)} é igual a a) 0 . b) 0.5 . c) 1 . d) 2 . e) 4 . (UFPA-97) O determinante da matriz \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ -1 & y & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 y\end{array}\right) é igual a -2 . Se B e C são as matrizes obtidas respectivamente, pela substituição enı A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C. (FGV-05) Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a matriz quadrada \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]. Se o determinante da matriz ( M+x I ) é uma função polinomial na variável x , a soma de suas raízes é igual a a) -1 . b) 0 . c) 1 . d) 2 . e) 3 . (Mackenzie-17) Para a matriz juadrada M=\left[\begin{array}{ccc}\cos 17^{\circ} & 0 & \operatorname{sen} 17^{\circ} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\ \operatorname{sen} 28^{\circ} & 0 & \cos 28^{\circ}\end{array}\right] o 'alor do determinante de \mathrm{M}^{10} é a) 1 / 16 b) 1 / 32 c) 1 / 64 d) 1 / 128 e) 1 / 256 Ver TambémVer Livro Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição