(UFMA-01) Seja A uma matriz tal que A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1\end{array}\right). Então o elemento a32 da matriz inversa de A é:
a) -1 / 15
b) 1 / 12
c) -5 / 12
d) -2 / 15
e) -1 / 3

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}
e pede o elemento a_{32} da inversa A^{-1}.
O conteúdo aqui é inversão de matriz 3\times3 usando a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a matriz de cofatores transposta.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A) = 2\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 3 & 1\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 3\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 3 & 1\end{vmatrix} =2\cdot1 -1\cdot3 = -1, \quad \begin{vmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{vmatrix} =1\cdot1 -1\cdot(-1)=2, \quad \begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 3\end{vmatrix} =1\cdot3 -2\cdot(-1)=5.
Logo
\det(A) = 2\cdot(-1) +1\cdot2 +3\cdot5 = -2 +2 +15 = 15.

Passo 3

Para obter a_{32} de A^{-1} usamos que
(A^{-1})_{3,2} = \frac{1}{\det(A)}\,(\mathrm{adj}(A))_{3,2} = \frac{1}{\det(A)}\,C_{2,3},
onde C_{2,3} é o cofactor da entrada da linha 2, coluna 3 de A.

Passo 4

Calcular C_{2,3}. O menor correspondente, removendo linha 2 e coluna 3, é
\begin{vmatrix} 2 & -1\\\\ -1 & 3 \end{vmatrix} =2\cdot3 -(-1)\cdot(-1) = 6 -1 = 5.
O sinal do cofator é (-1)^{2+3} = -1, então
C_{2,3} = -1 \times 5 = -5.

Passo 5

Substituindo em (A^{-1})_{3,2} = C_{2,3}/\det(A), temos
(A^{-1})_{3,2} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3}.

Resposta

e) -\tfrac{1}{3}
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados