(Escola Naval-94) Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e uma de suas diagonais mede 8 cm . O comprimento da outra diagonal é:
a) 2 \sqrt{10} \mathrm{~cm}
b) 8 cm
c) 10 cm
d) 10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}
e) 2 \sqrt{42} \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo cujos lados medem 4 cm e 6 cm, e informa que uma das suas diagonais tem comprimento 8 cm. Pergunta qual é o comprimento da outra diagonal. O conteúdo principal é a identidade do paralelogramo que relaciona os comprimentos dos lados e das diagonais.

Passo 2

A identidade do paralelogramo (também chamada de lei do paralelogramo) afirma:
d_1^2 + d_2^2 = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr),
onde a e b são os lados e d_1 e d_2 são as diagonais.

Passo 3

Nesse caso temos a=4, b=6 e d_1=8. Queremos d_2. Então isolamos d_2^2:
d_2^2 = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr) - d_1^2.

Passo 4

Substituindo os valores:
d_2^2 = 2\bigl(4^2 + 6^2\bigr) - 8^2 = 2\bigl(16 + 36\bigr) - 64 = 2\cdot 52 - 64 = 104 - 64 = 40.
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d_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.

Resposta

(a) 2\sqrt{10} cm

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