(Escola Naval-16) A soma dos três primeiros termos de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus quadrados 91 . Justapondo-se esses termos nessa ordem, obtém-se um número de três algarismos. Pode-se afirmar que o resto da divisão desse número pelo inteiro 23 vale
a) 1
b) 4
c) 8
d) 9
a) 1
b) 4
c) 8
d) 9
Passo 1
O enunciado diz que os três primeiros termos de uma P.G. crescente são
,
e satisfazem
e satisfazem
e
Concatenando esses três termos obtemos um número de três algarismos, e queremos o resto dessa divisão por 23. Para isso, primeiro vamos achar
e
.
Passo 2
Traduzindo as somas em equações, temos
e
Passo 3
Para eliminar
, dividimos a segunda equação pelo quadrado da primeira:
Logo
e multiplicando em cruz,
Passo 4
Expandindo e levando tudo para um lado, chega-se ao polinômio
Testando raízes inteiras,
é solução real. As outras raízes reais são
e duas complexas. Como a P.G. é crescente, fica
.
Passo 5
Com
, da primeira equação
Os termos são, então,
.
Passo 6
Concatenando os termos na ordem dada forma-se o número de três algarismos
. Agora basta calcular
Como
, o resto é
.
Resposta
1