(Escola Naval-16) A soma dos três primeiros termos de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus quadrados 91 . Justapondo-se esses termos nessa ordem, obtém-se um número de três algarismos. Pode-se afirmar que o resto da divisão desse número pelo inteiro 23 vale
a) 1
b) 4
c) 8
d) 9

Passo 1

O enunciado diz que os três primeiros termos de uma P.G. crescente são
\;t_1=a,\;t_2=ar,\;t_3=ar^2,
e satisfazem
t_1+t_2+t_3=13
e
t_1^2+t_2^2+t_3^2=91.
Concatenando esses três termos obtemos um número de três algarismos, e queremos o resto dessa divisão por 23. Para isso, primeiro vamos achar a e r.

Passo 2

Traduzindo as somas em equações, temos
a\,(1+r+r^2)=13
e
a^2\,(1+r^2+r^4)=91.

Passo 3

Para eliminar a, dividimos a segunda equação pelo quadrado da primeira:
\frac{a^2\,(1+r^2+r^4)}{\bigl[a\,(1+r+r^2)\bigr]^2} =\frac{91}{13^2} =\frac{91}{169} =\frac{7}{13}.
Logo
\frac{1+r^2+r^4}{(1+r+r^2)^2}=\frac{7}{13}
e multiplicando em cruz,
13\,(1+r^2+r^4) =7\,(1+r+r^2)^2.

Passo 4

Expandindo e levando tudo para um lado, chega-se ao polinômio
3r^4-7r^3-4r^2-7r+3=0.
Testando raízes inteiras, r=3 é solução real. As outras raízes reais são r=\tfrac13 e duas complexas. Como a P.G. é crescente, fica r=3.

Passo 5

Com r=3, da primeira equação
a\,(1+3+9)=13 \quad\Longrightarrow\quad a\cdot13=13 \quad\Longrightarrow\quad a=1.
Os termos são, então, 1,\;3,\;9.

Passo 6

Concatenando os termos na ordem dada forma-se o número de três algarismos 139. Agora basta calcular
139\mod 23.
Como 23\times6=138, o resto é 1.

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados