(Escola Naval-93/94) Três circunferências de raios r, 2 r e 3r são tais que, cada uma delas tangencia exteriormente as outras duas. O triângulo, cujos vértices são os centros dessas circunferências, tem área:
a) r^{2}
b) \sqrt{3} \mathrm{r}^{2} / 2
c) 4 r^{2}
d) 6 r^{2}

Passo 1

O enunciado trata de três circunferências de raios r, 2r e 3r que se tangenciam exteriormente duas a duas. Os centros dessas circunferências formam um triângulo. O conteúdo aqui é geometria de círculos (distância entre centros em tangência exterior) e cálculo de área de triângulo, reconhecendo um triângulo retângulo.

Passo 2

Quando duas circunferências de raios r_i e r_j tangenciam-se exteriormente, a distância entre seus centros vale r_i + r_j. Assim os lados do triângulo são:
d_{12} = r + 2r = 3r,
d_{23} = 2r + 3r = 5r,
d_{13} = r + 3r = 4r.

Passo 3

Observamos que os comprimentos (3r,4r,5r) formam uma tripla pitagórica, logo o triângulo é retângulo, com catetos 3r e 4r e hipotenusa 5r.

Passo 4

A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos. Portanto
\text{Área} = \frac{(3r)\,(4r)}{2} = 6r^{2}.Á

Resposta

d) 6r^{2}

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